(4х — 5 —x²)(x⁴-8x²+ 18)>2

Для решения неравенства \((4x - 5 - x^2)(x^4 - 8x^2 + 18) > 2\) начнем с приведения его к более удобному виду.

1. Переносим 2 в левую часть: \[ (4x - 5 - x^2)(x^4 - 8x^2 + 18) - 2 > 0. \]

2. Далее, для упрощения, обозначим: \[ A = 4x - 5 - x^2, \] \[ B = x^4 - 8x^2 + 18. \] Тогда нужно решить неравенство: \[ AB - 2 > 0. \]

3. Чтобы понять, при каких \(x\) данное выражение будет больше 0, начнем с анализа каждого множителя.

Анализ \(A\): \[ A = -x^2 + 4x - 5. \] Для нахождения корней уравнения \(A = 0\), используем дискриминант: \[ D = 4^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-5) = 16 - 20 = -4. \] Поскольку дискриминант отрицательный, у \(A\) нет действительных корней, и парабола открыта вниз, следовательно, \(A < 0\) для всех значений \(x\).

Анализ \(B\): \[ B = x^4 - 8x^2 + 18. \] Чтобы упростить анализ, заменим \(y = x^2\): \[ B(y) = y^2 - 8y + 18. \] Теперь найдем корни: \[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 64 - 72 = -8. \] Так же, как в случае с \(A\), у \(B\) нет действительных корней, и парабола открыта вверх, следовательно, \(B > 0\) для всех \(y\) (то есть для всех \(x\)).

4. Теперь мы имеем:
   • \(A < 0\) для всех \(x\),
   • \(B > 0\) для всех \(x\).

Таким образом, произведение \(AB < 0\).

5. Наконец, подстановка в неравенство: \[ AB - 2 < -2 < 0. \] Таким образом, исходное неравенство не может быть выполнено для любого \(x\).

Ответ: Неравенство \((4x - 5 - x^2)(x^4 - 8x^2 + 18) > 2\) не имеет решений.