1. Две стороны треу гольни ка равны 10 см и 12 см, а у гол между ними 120°. Найдите третью сторону треу гольни ка и его площадь. 2. В треугольнике АВС известно, что АС= 5/2 см, <B…

Для решения обеих задач воспользуемся соответствующими формулами.

1. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

Имеем:

• Стороны \( a = 10 \) см и \( b = 12 \) см,
• Угол \( \gamma = 120^\circ \).

Находим третью сторону по формуле косинусов:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma) \] Подставляем значения: \[ c^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot \cos(120^\circ) \] Значение \( \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \): \[ c^2 = 100 + 144 + 120 \] \[ c^2 = 364 \] \[ c = \sqrt{364} \approx 19.1 \text{ см} \]

Находим площадь \( S \) треугольника по формуле:

\[ S = \frac{1}{2}ab \cdot \sin(\gamma) \] Сначала находим \( \sin(120^\circ) \): \[ \sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Теперь подставим в формулу площади: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S = 30\sqrt{3} \approx 51.96 \text{ см}^2 \]

Итак, третья сторона треугольника примерно равна \( 19.1 \) см, а площадь составляет \( 30\sqrt{3} \) см² или около 51.96 см².

2. Найдите сторону \( AB \) треугольника \( ABC \).

Известно:

• \( AC = \frac{5}{2} \) см,
• \( \angle B = 45^\circ \),
• \( \angle C = 30^\circ \).

Находим угол \( A \):

\[ \angle A = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ \]

Используем закон синусов: \[ \frac{AB}{\sin(C)} = \frac{AC}{\sin(B)} \] Подставляем известные значения: \[ \frac{AB}{\sin(30^\circ)} = \frac{AC}{\sin(45^\circ)} \]

Значения \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \) и \( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \): \[ \frac{AB}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{5}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \] Упрощаем: \[ AB = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{4} \text{ см} \approx 1.77 \text{ см} \]

Таким образом, сторона \( AB \) приблизительно равна \( \frac{5\sqrt{2}}{4} \) см или 1.77 см.