Найди дробь, числитель и знаменатель которой являются натуральными числами. Знаменатель дроби на 6 больше числителя. Если из числителя вычесть 3, а к знаменателю прибавить 4, то дробь уменьшится на 1/8. Запиши в поля

Давайте решим вашу задачу шаг за шагом.

Обозначим числитель дроби как \( x \), а знаменатель как \( y \). Мы знаем, что:

1. \( y = x + 6 \) (знаменатель дроби на 6 больше числителя).
2. Если из числителя вычесть 3, а к знаменателю прибавить 4, то дробь уменьшится на \( \frac{1}{8} \).

Можно записать это в виде уравнения. Исходная дробь имеет вид \( \frac{x}{y} \), а новая дробь будет \( \frac{x - 3}{y + 4} \).

По условию, уменьшение дроби на \( \frac{1}{8} \) можно записать так:

\[ \frac{x}{y} - \frac{x - 3}{y + 4} = \frac{1}{8} \]

Теперь подставим \( y = x + 6 \) в уравнение. Это даст нам:

\[ \frac{x}{x + 6} - \frac{x - 3}{(x + 6) + 4} = \frac{1}{8} \]

Упростим знаменатель новой дроби:

\[ y + 4 = x + 6 + 4 = x + 10 \]

Теперь у нас есть следующее уравнение:

\[ \frac{x}{x + 6} - \frac{x - 3}{x + 10} = \frac{1}{8} \]

Чтобы избавится от дробей, перемножим всё на \( 8(x + 6)(x + 10) \):

\[ 8x(x + 10) - 8(x - 3)(x + 6) = (x + 6)(x + 10) \]

Теперь раскроем скобки:

1. \( 8x^2 + 80x \)
2. \( 8(x^2 + 3x + 6x - 18) = 8(x^2 + 9x - 18) = 8x^2 + 72x - 144 \)
3. \( (x + 6)(x + 10) = x^2 + 16x + 60 \)

Объединим уравнение:

\[ 8x^2 + 80x - (8x^2 + 72x - 144) = x^2 + 16x + 60 \]

Сократив \( 8x^2 \), получаем:

\[ 80x - 72x + 144 = x^2 + 16x + 60 \]

Упростим это уравнение:

\[ 8x + 144 = x^2 + 16x + 60 \]

Преобразуем его в стандартный вид:

\[ 0 = x^2 + 16x - 8x + 60 - 144 \] \[ 0 = x^2 + 8x - 84 \]

Теперь применим формулу квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \( a = 1 \), \( b = 8 \), \( c = -84 \):

\[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 336}}{2} \] \[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{400}}{2} \] \[ x = \frac{-8 \pm 20}{2} \]

Получаем два решения:

1. \( x = \frac{12}{2} = 6 \)
2. \( x = \frac{-28}{2} = -14 \) (это значение не подходит, так как \( x \) должно быть натуральным числом).

Итак, \( x = 6 \).

Теперь найдем \( y \):

\[ y = x + 6 = 6 + 6 = 12 \]

Следовательно, дробь, которую вы искали, — это \( \frac{6}{12} \), которую можно сократить до \( \frac{1}{2} \).

Запишите в поле:

Числитель: 6
Знаменатель: 12

Если есть дополнительные вопросы или нужна дальнейшая помощь, не стесняйтесь спрашивать!