Упрости : sin^4 a+cos^4a-1/sin^4a-2sin^2a+1

Для упрощения выражения \(\frac{\sin^4 a + \cos^4 a - 1}{\sin^4 a - 2\sin^2 a + 1}\) начнем с работы над числителем и знаменателем отдельно.

1. Числитель: \(\sin^4 a + \cos^4 a - 1\)

Используем идентичность \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\): \[ \sin^4 a + \cos^4 a = (\sin^2 a + \cos^2 a)^2 - 2\sin^2 a \cos^2 a = 1 - 2\sin^2 a \cos^2 a \] Тогда: \[ \sin^4 a + \cos^4 a - 1 = (1 - 2\sin^2 a \cos^2 a) - 1 = -2\sin^2 a \cos^2 a \]

2. Знаменатель: \(\sin^4 a - 2\sin^2 a + 1\)

Представим \(\sin^4 a\) как \((\sin^2 a)^2\): \[ \sin^4 a - 2\sin^2 a + 1 = (\sin^2 a - 1)^2 \] Так как \(\sin^2 a - 1 = -\cos^2 a\), то: \[ (\sin^2 a - 1)^2 = (-\cos^2 a)^2 = \cos^4 a \]

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходное выражение: \[ \frac{-2\sin^2 a \cos^2 a}{\cos^4 a} \] Это можно упростить: \[ = -2\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} = -2\tan^2 a \]

Таким образом, окончательный ответ: \[ \frac{\sin^4 a + \cos^4 a - 1}{\sin^4 a - 2\sin^2 a + 1} = -2\tan^2 a \]