√6x-x²>=0

Чтобы решить неравенство √(6x) - x² ≥ 0, давайте разобьем его на несколько шагов.

1. Переписываем неравенство:
   Мы можем переписать его как:
   √(6x) ≥ x²

2. Возведение обеих сторон в квадрат:
   Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе стороны в квадрат:
   6x ≥ (x²)²
   Это дает:
   6x ≥ x⁴

3. Переносим все в одну сторону:
   Преобразуем это неравенство:
   x⁴ - 6x ≤ 0

4. Факторизация:
   Теперь можем факторизовать левой частью:
   x(x³ - 6) ≤ 0

5. Нахождение корней:
   Найдем, когда произведение будет равно нулю:
   x = 0 и x³ - 6 = 0
   Решение уравнения x³ - 6 = 0 дает x = √3.

6. Анализ знаков:
   Теперь у нас есть три критических точки: 0 и √6. Мы должны проверить знаки на интервалах, определенных этими точками. Поскольку x³ - 6 является кубической функцией, то она будет отрицательной между корнями и положительной за их пределами.

   Проверим интервалы:

   • Для x < 0: например, x = -1, тогда x(x³ - 6) > 0
   • Для 0 < x < √6: например, x = 1, тогда 1(1 - 6) < 0
   • Для x > √6: например, x = 3, тогда 3(27 - 6) > 0

7. Записываем итоговый результат:
   Неравенство x(x³ - 6) ≤ 0 выполняется на интервале:
   0 ≤ x ≤ √6.

Итак, решение неравенства √6x - x² ≥ 0:
x ∈ [0, √6].