(x²-4)(x-4)/√x²-7x-8=0
Чтобы решить уравнение \((x^2 - 4)(x - 4) / \sqrt{x^2 - 7x - 8} = 0\), давайте рассмотрим его шаг за шагом.
Определим область определения. Подкоренное выражение \(\sqrt{x^2 - 7x - 8}\) должно быть больше или равно нулю, иначе у нас возникнут проблемы с определением корня. Для этого сначала найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - 7x - 8 = 0\) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81. \] Корни: \[ x_1 = \frac{7 + \sqrt{81}}{2} = \frac{7 + 9}{2} = 8, \] \[ x_2 = \frac{7 - \sqrt{81}}{2} = \frac{7 - 9}{2} = -1. \] Таким образом, выражение \(x^2 - 7x - 8\) положительно, когда \(x \leq -1\) или \(x \geq 8\).
Решим уравнение. Поскольку дробь равна нулю, это происходит только тогда, когда числитель равен нулю. То есть: \[ (x^2 - 4)(x - 4) = 0. \] Это произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
- Первый множитель: \[ x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2 \text{ или } x = -2. \]
- Второй множитель: \[ x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4. \]
Соберем все решения. У нас есть \(x = 2\), \(x = -2\) и \(x = 4\). Теперь проверим каждое из решений на соответствие области определения:
- \(x = 2\) — область определения: подойдет.
- \(x = -2\) — область определения: подойдет.
- \(x = 4\) — область определения: подойдет.
Таким образом, все найденные корни подходят, и окончательные решения уравнения:
\[ x = 2, \; x = -2, \; x = 4. \]
