найди наибольшее и наименьшее значение выражения : 2cos^a-3sin a
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение выражения \(2\cos a - 3\sin a\), начнем с преобразования его в более удобную форму.
Мы можем выразить это выражение в виде \( R \cos(a + \phi) \), где \( R \) — это величина, а \( \phi \) — угол. Для этого нам понадобится найти \( R \) и \( \phi \).
Найдем R: \[ R = \sqrt{(2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \]
Определим угол φ: \[ \cos \phi = \frac{2}{\sqrt{13}}, \quad \sin \phi = \frac{-3}{\sqrt{13}} \]
Таким образом, можем записать оригинальное выражение следующим образом: \[ 2\cos a - 3\sin a = \sqrt{13} \left( \cos \phi \cos a + \sin \phi \sin a \right) = \sqrt{13} \cos(a + \phi) \]
- Найдем максимальные и минимальные значения:
Максимальное значение \( \cos(a + \phi) \) равно 1, а минимальное -1. Поэтому:
- Наибольшее значение: \[ \sqrt{13} \cdot 1 = \sqrt{13} \]
- Наименьшее значение: \[ \sqrt{13} \cdot (-1) = -\sqrt{13} \]
Таким образом, наибольшее значение выражения \( 2\cos a - 3\sin a \) равно \( \sqrt{13} \), а наименьшее значение равно \( -\sqrt{13} \).
