напишите уравнение окружности, проходящего через точки А (-3;0) и В (0;9), если известно, что центр окружности лежит на оси ординат
Чтобы написать уравнение окружности, проходящей через точки A (-3; 0) и B (0; 9), и имеющей центр на оси ординат, нужно сначала определить координаты центра окружности.
Пусть центр окружности имеет координаты (0; R), где R - это ордината, которую нам нужно найти. Уравнение окружности записывается в виде:
\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, \]
где (h; k) - координаты центра, а r - радиус окружности.
В нашем случае у нас есть общий вид уравнения:
\[ x^2 + (y - R)^2 = r^2. \]
Теперь мы знаем, что окружность проходит через точки A и B. Подставим сначала точку A (-3; 0):
\[ (-3)^2 + (0 - R)^2 = r^2, \]
что упрощается до:
\[ 9 + R^2 = r^2. \quad (1) \]
Теперь подставим точку B (0; 9):
\[ 0^2 + (9 - R)^2 = r^2, \]
что упрощается до:
\[ (9 - R)^2 = r^2. \quad (2) \]
Теперь мы имеем систему из двух уравнений (1) и (2):
- \(9 + R^2 = r^2\)
- \((9 - R)^2 = r^2\)
Можно приравнять правые части этих уравнений:
\[ 9 + R^2 = (9 - R)^2. \]
Раскроем квадрат:
\[ 9 + R^2 = 81 - 18R + R^2. \]
Упрощаем уравнение:
\[ 9 = 81 - 18R. \]
Теперь переместим 81 влево:
\[ 9 - 81 = -18R, \]
что дает:
\[ -72 = -18R. \]
Разделим обе стороны на -18:
\[ R = 4. \]
Теперь, зная координаты центра (0; 4), можем найти радиус, подставив R в одно из уравнений. Используем уравнение (1):
\[ 9 + 4^2 = r^2, \] \[ 9 + 16 = r^2, \] \[ r^2 = 25 \implies r = 5. \]
Теперь мы можем записать уравнение окружности:
\[ x^2 + (y - 4)^2 = 25. \]
Таким образом, уравнение окружности, проходящей через точки A (-3; 0) и B (0; 9), имеющей центр на оси ординат, будет следующим:
\[ x^2 + (y - 4)^2 = 25. \]
