Решите уравнение a) 3cos²x-10cosx+3=0 Б) 2sin²x-sinx-1=0 В) 2ctg²x+3ctgx+1=0 Г) tg2x-1=0
Давайте решим каждое из предложенных уравнений по порядку.
a) 3cos²x - 10cosx + 3 = 0
Это квадратное уравнение относительно cosx. Подставим cosx = t, тогда уравнение принимает вид:
\[ 3t^2 - 10t + 3 = 0 \]
Теперь решим это уравнение с помощью дискриминанта:
Найдем дискриминант \(D\): \[ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 \]
Найдем корни используя формулы:
\[ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 8}{6} = 3 \] \[ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{1}{3} \]
- Теперь возвращаемся к cosx:
\[ cosx = 3 \] (не подходит, так как косинус не может быть больше 1) \[ cosx = \frac{1}{3} \]
Для cosx = \(\frac{1}{3}\), решение будет:
\[ x = \pm \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2k\pi, \; k \in \mathbb{Z} \]
б) 2sin²x - sinx - 1 = 0
Подставим sinx = t, тогда уравнение становится:
\[ 2t^2 - t - 1 = 0 \]
Находим дискриминант:
\(D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9\)
Находим корни:
\[ t_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = 1 \] \[ t_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2} \]
Решения для sinx:
\[ sinx = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \; k \in \mathbb{Z} \] \[ sinx = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \; \text{и} \; \frac{11\pi}{6} + 2k\pi, \; k \in \mathbb{Z} \]
в) 2ctg²x + 3ctgx + 1 = 0
Подставим ctgx = t, и уравнение становится:
\[ 2t^2 + 3t + 1 = 0 \]
Находим дискриминант:
\(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1\)
Находим корни:
\[ t_1 = \frac{-3 + 1}{4} = -\frac{1}{2} \] \[ t_2 = \frac{-3 - 1}{4} = -1 \]
Находим угол x:
- \( ctgx = -\frac{1}{2} \) (это соответствует углам, где tgx = -2)
- \( ctgx = -1 \Rightarrow x = \frac{3\pi}{4} + k\pi, \; k \in \mathbb{Z} \)
г) tg2x - 1 = 0
Уравнение превращаем в:
\[ tg2x = 1 \]
Решение:
\[ 2x = \frac{\pi}{4} + k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}, \; k \in \mathbb{Z} \]
Теперь у нас есть все решения! Если у вас остались вопросы по какому-либо из этих уравнений, пожалуйста, дайте знать!
