найдите косинус угла А треугольника с вершинами А (3;9) ,В (0;6), С (4;2)

Чтобы найти косинус угла \( A \) треугольника \( ABC \) с вершинами \( A(3, 9) \), \( B(0, 6) \) и \( C(4, 2) \), нужно воспользоваться формулой для косинуса угла в векторном представлении.

Сначала найдем векторы \( AB \) и \( AC \):

1. Вектор \( AB \): \[ \vec{AB} = B - A = (0 - 3, 6 - 9) = (-3, -3) \]

2. Вектор \( AC \): \[ \vec{AC} = C - A = (4 - 3, 2 - 9) = (1, -7) \]

После этого находим длины этих векторов:

1. Длина \( AB \): \[ |\vec{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \]

2. Длина \( AC \): \[ |\vec{AC}| = \sqrt{(1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]

Теперь можно найти скалярное произведение векторов \( AB \) и \( AC \): \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-3) \cdot 1 + (-3) \cdot (-7) = -3 + 21 = 18 \]

Теперь используем формулу для нахождения косинуса угла: \[ \cos(A) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} \]

Подставляем значения: \[ \cos(A) = \frac{18}{(3\sqrt{2}) \cdot (5\sqrt{2})} = \frac{18}{15 \cdot 2} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} \]

Таким образом, косинус угла \( A \) равен \( \frac{3}{5} \).