Две девочки массами m1 = 30 кг и m2 = 35 кг сидят на концах доски длиной L = 6 м и массой М = 25 кг. Доска находится в равновесии. Определите положение её точки опоры. Чему равна сила реакции опоры, действующая на доску?
Для решения такой задачи, связанной с равновесием, используем принцип моментов. В данном случае можно рассмотреть моменты сил относительно точки опоры доски.
Обозначим:
- \( m_1 = 30 \, \text{кг} \) (масса первой девочки)
- \( m_2 = 35 \, \text{кг} \) (маса второй девочки)
- \( M = 25 \, \text{кг} \) (масса доски)
- \( L = 6 \, \text{м} \) (длина доски)
Находим центр тяжести доски. Поскольку доска равномерная, её центр будет находиться в середине доски:
- \( x_{центр} = \frac{L}{2} = \frac{6}{2} = 3 \, \text{м} \)
Определим расстояния от центр тяжести доски до концов:
- В левом конце (где сидит первая девочка) расстояние: \( 3 \, \text{м} \)
- В правом конце (где сидит вторая девочка) расстояние: \( 3 \, \text{м} \)
Теперь запишем условия равновесия: Моменты относительно точки опоры должны быть равны.
Обозначим расстояние от левой грани доски до точки опоры как \( d \). Тогда баланс моментов относительно данной точки можно записать как: \[ m_1 \cdot g \cdot (d) + M \cdot g \cdot (d - 3) = m_2 \cdot g \cdot (6 - d) \] Здесь \( g \) - ускорение свободного падения, которое можно сократить, так как оно присутствует везде.
Подставим массы: \[ 30 \cdot d + 25 \cdot (d - 3) = 35 \cdot (6 - d) \]
Упростим уравнение: \[ 30d + 25d - 75 = 210 - 35d \] \[ 55d + 35d = 210 + 75 \] \[ 90d = 285 \] \[ d = \frac{285}{90} = 3.17 \, \text{м} \]
Таким образом, точка опоры находится на расстоянии примерно 3.17 м от левого конца доски.
- Теперь найдем силу реакции опоры. В равновесии сумма всех вертикальных сил равна нулю: \[ R - m_1g - m_2g - Mg = 0 \] \[ R = m_1g + m_2g + Mg \] Подставив значения: \[ R = (30 + 35 + 25)g = 90g \] Если \( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 \): \[ R = 90 \cdot 9.81 \approx 882.9 \, \text{Н} \]
Таким образом, сила реакции опоры, действующая на доску, составляет приблизительно 883 Н.
