в группе 15 студентов, среди которых 4 получают повышенную стипендию. По списку наугад отобрано 6 человек. Найти вероятность того, что трое среди них получают повышенную стипендию.
Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать комбинаторный подход. Нам необходимо найти вероятность того, что среди 6 студентов, выбранных случайным образом из группы из 15 студентов, ровно 3 человека получают повышенную стипендию.
Определим общее количество студентов:
- Всего студентов: 15
- Студентов с повышенной стипендией: 4
- Студентов без повышенной стипендии: 15 - 4 = 11
Общее количество способов выбрать 6 студентов из 15: Это можно сделать с помощью сочетаний (обозначается как C(n, k)), где n – общее количество объектов, а k – количество выбранных объектов: \[ C(15, 6) = \frac{15!}{6!(15-6)!} = \frac{15!}{6! \cdot 9!} = 5005 \]
Теперь найдем количество способов выбрать 3 студента с повышенной стипендией и 3 студента без стипендии:
- Количество способов выбрать 3 студента с повышенной стипендией: \[ C(4, 3) = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4 \]
- Количество способов выбрать 3 студента без повышенной стипендии: \[ C(11, 3) = \frac{11!}{3!(11-3)!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 165 \]
Теперь умножим количество способов выбора студентов с и без стипендии: \[ \text{Общее количество способов выбрать 3 с стипендией и 3 без: } 4 \cdot 165 = 660 \]
Теперь найдем вероятность того, что среди выбранных 6 студентов ровно 3 с повышенной стипендией: \[ P = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{660}{5005} \]
Посчитаем результат: Чтобы упростить дробь, можно использовать математические операции: \[ P \approx 0.1315 \quad \text{или} \quad \frac{660}{5005} \quad \text{(в виде дроби)} \]
Таким образом, вероятность того, что среди случайно выбранных 6 студентов ровно 3 человека получают повышенную стипендию, составляет примерно 0.1315 (или 13.15%).
