4^x-2=(1/4)^x+8

Чтобы решить уравнение \( 4^x - 2 = (1/4)^x + 8 \), начнем с преобразования всех членов уравнения в одну основу.

Если мы заметим, что \( 4 = 4^1 \) и \( 1/4 = 4^{-1} \), то можем переписать уравнение следующим образом:

\[ 4^x - 2 = 4^{-x} + 8. \]

Теперь умножим обе стороны уравнения на \( 4^x \), чтобы избавиться от дроби:

\[ 4^{2x} - 2 \cdot 4^x = 1 + 8 \cdot 4^x. \]

После этого получаем:

\[ 4^{2x} - 10 \cdot 4^x - 1 = 0. \]

Теперь сделаем замену \( y = 4^x \). Тогда уравнение преобразуется в:

\[ y^2 - 10y - 1 = 0. \]

Это квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью формулы:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]

где \( a = 1 \), \( b = -10 \), и \( c = -1 \). Подставим значения в формулу:

\[ y = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{104}}{2}. \]

Упростим корень:

\[ \sqrt{104} = 2\sqrt{26}, \]

тогда

\[ y = \frac{10 \pm 2\sqrt{26}}{2} = 5 \pm \sqrt{26}. \]

Теперь у нас есть два возможных значения для \( y \):

1. \( y = 5 + \sqrt{26} \)
2. \( y = 5 - \sqrt{26} \)

Поскольку \( y = 4^x \) и оно всегда положительное, первое значение подходит:

\[ 4^x = 5 + \sqrt{26}. \]

Теперь берем логарифм:

\[ x = \log_4(5 + \sqrt{26}). \]

Это окончательное решение для \( x \). Если вам нужно что-то еще, спрашивайте!