Когда космический корабль притягивается к Земле и Луне с одинаковыми по модулю силами, это означает, что на него действуют силы гравитации, которые равны по величине, но противоположны по направлению.
Гравитационная сила, действующая на космический корабль со стороны каждого из небесных тел, определяется по формуле:
[ F = \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{r^2} ]
где:
- ( F ) — сила притяжения,
- ( G ) — гравитационная постоянная,
- ( m_1 ) и ( m_2 ) — массы соответственно небесных тел,
- ( r ) — расстояние от центра небесного тела до космического корабля.
Пусть ( R ) — расстояние между центрами Земли и Луны. Обозначим расстояние от космического корабля до Земли как ( d ), тогда расстояние до Луны будет равно ( R - d ).
Согласно условию задачи, силы притяжения к Земле и Луне равны:
[ \frac{G \cdot M_{З} \cdot m}{d^2} = \frac{G \cdot M_{Л} \cdot m}{(R - d)^2} ]
где ( M_{З} ) — масса Земли, ( M_{Л} ) — масса Луны, ( m ) — масса космического корабля.
Сократив на ( G ) и ( m ), получим:
[ \frac{M_{З}}{d^2} = \frac{M_{Л}}{(R - d)^2} ]
Теперь подставляем, что масса Луны в 81 раз меньше массы Земли:
[ \frac{M_{З}}{d^2} = \frac{M_{З}/81}{(R - d)^2} ]
Упрощаем уравнение:
[ 81 (R - d)^2 = d^2 ]
Теперь можно решить это уравнение для ( d ). Применяя квадратный корень, получим:
[ d = R - d \sqrt{81} = R - 9d ]
Но чтобы найти, к какому небесному телу корабль ближе, посмотрим на соотношение:
Так как ( M_{Л} / M_{З} = 1 / 81 ), корабль будет находиться намного ближе к Земле. Поскольку расстояние ( R ) действительно фиксированное, и в зависимости от массы, расстояние ( d ) будет меньше, чем ( R - d ), что подтверждает, что корабль ближе к Земле.
Подведем итог: космический корабль находится ближе к Земле, и расстояние до Земли меньше в 9 раз, чем расстояние до Луны.
