Задача 2 Материальная точка начала движения вдоль оси Ох с постоянным ускорением а, проекция которого на эту ось a_{1} = - 2M / (c ^ 2) В момент t_{1} = 10 величина проекции ускорения скачком приняла значение a_{2} = 3M / (c ^ 2) а в момент t_{2} = 15 с обратилась в нуль. Определите координату точки х, путь 1 и скорость и, через время 20 с от начала движения аналитическим и графическим методами.

Для решения данной задачи, начнем с определения основных параметров движения материальной точки и последующей аналитической и графической проработки.

Дано:

• Начальное ускорение \( a_1 = -\frac{2M}{c^2} \) при \( t_1 = 10 \) с.
• Ускорение изменяется на \( a_2 = \frac{3M}{c^2} \) в момент \( t_2 = 15 \) с, после чего превращается в нуль.

Аналитический метод:

1. Определение временных интервалов и соответствующих ускорений:

   • На интервале от \( t = 0 \) до \( t = 10 \) с, точка будет двигаться с постоянным ускорением \( a_1 \).
   • На интервале от \( t = 10 \) до \( t = 15 \) с, ускорение меняется на \( a_2 \).
   • На интервале от \( t = 15 \) до \( t = 20 \) с, точка движется с постоянной скоростью (так как ускорение равно нулю).

2. Расчет координаты и пути:

   • Для первого интервала: \[ x_1(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a_1 t^2 \] Здесь \( x_0 \) и \( v_0 \) это начальная координата и скорость, которые мы можем принять равными 0 для упрощения, если не указано иное.

     При \( t = 10 \): \[ x_1(10) = 0 + 0 \cdot 10 + \frac{1}{2} \left(-\frac{2M}{c^2}\right) (10)^2 = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2M}{c^2} \cdot 100 = -\frac{100M}{c^2} \]

   • Для второго интервала (от 10 до 15 с): Ускорение изменяется, поэтому воспользуемся формулой для изменения скорости: \[ v(t) = v_0 + a \cdot t \] Подсчитываем скорость в момент \( t = 10 \): \[ v(10) = 0 + \left(-\frac{2M}{c^2}\right) \cdot 10 = -\frac{20M}{c^2} \]

     Теперь используем эту скорость для определения координаты в момент времени 15 с: \[ x_2(15) = x_1(10) + v(10) \cdot (15 - 10) + \frac{1}{2} a_2 (5)^2 \] \[ a_2 = \frac{3M}{c^2}, \quad v(10) = -\frac{20M}{c^2} \] \[ x_2(15) = -\frac{100M}{c^2} + \left(-\frac{20M}{c^2}\right) \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot \frac{3M}{c^2} \cdot 25 \] \[ = -\frac{100M}{c^2} - \frac{100M}{c^2} + \frac{75M}{c^2} = -\frac{125M}{c^2} \]

   • Для интервала от 15 до 20 с, ускорение ноль, значит: \[ x_3(20) = x_2(15) + v(15) \cdot (20 - 15) \] Сначала найдем скорость \( v(15) \): \[ v(15) = v(10) + a_2 \cdot (15 - 10) = -\frac{20M}{c^2} + \frac{3M}{c^2} \cdot 5 = -\frac{20M}{c^2} + \frac{15M}{c^2} = -\frac{5M}{c^2} \] Теперь подставим в формулу: \[ x_3(20) = -\frac{125M}{c^2} + \left(-\frac{5M}{c^2}\right) \cdot 5 = -\frac{125M}{c^2} - \frac{25M}{c^2} = -\frac{150M}{c^2} \]

Подведение итогов:

• Координата точки в момент 20 с: \( x(20) = -\frac{150M}{c^2} \)

• Путь:

  • Путь на первом интервале: \( S_1 = |-\frac{100M}{c^2}| \)
  • Путь на втором интервале: \( S_2 = |x_2(15) - x_1(10)| = \left| -\frac{125M}{c^2} + \frac{100M}{c^2} \right| = \frac{25M}{c^2} \)
  • Путь на третьем интервале: \( S_3 = |x_3(20) - x_2(15)| = \left| -\frac{150M}{c^2} + \frac{125M}{c^2} \right| = \frac{25M}{c^2} \)

  Общий путь: \[ S = S_1 + S_2 + S_3 = \frac{100M}{c^2} + \frac{25M}{c^2} + \frac{25M}{c^2} = \frac{150M}{c^2} \]

• Скорость в момент 20 с: \( v(20) = -\frac{5M}{c^2} \)

Графический метод:

Для графического метода вы можете построить графики зависимости координаты от времени. На первом отрезке график будет параболой, определяемой отрицательным ускорением. На втором отрезке — изменяющаяся прямая с положительным значением ускорения, и на третьем отрезке график будет горизонтальной линией, так как скорость постоянная.

Эти два подхода помогут вам проиллюстрировать движение материальной точки в заданные моменты времени и проиллюстрируют важные закономерности в кинематике.