решить систему управлений методом Крамера x-2y+3y+3z=1 2x+3y-4z=-2 3x-2y+5z=1
Для решения системы уравнений методом Крамера, давайте сначала запишем вашу систему в стандартной форме:
- \( x - 2y + 3z = 1 \)
- \( 2x + 3y - 4z = -2 \)
- \( 3x - 2y + 5z = 1 \)
Теперь определим коэффициенты для матрицы:
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & -4 \\ 3 & -2 & 5 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \]
Следующим шагом найдем определитель матрицы \(A\):
\[ |A| = 1 \cdot (3 \cdot 5 - (-4) \cdot (-2)) - (-2)(2 \cdot 5 - (-4) \cdot 3) + 3(2 \cdot (-2) - 3 \cdot 3) \] \[ = 1 \cdot (15 - 8) + 2(10 + 12) + 3(-4 - 9) \] \[ = 1 \cdot 7 + 2 \cdot 22 - 3 \cdot 13 \] \[ = 7 + 44 - 39 = 12 \]
Теперь находим определители \(D_x\), \(D_y\), и \(D_z\), заменяя соответствующие столбцы в \(A\) на столбец \(B\).
- Для \(D_x\):
\[ D_x = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -2 & 3 & -4 \\ 1 & -2 & 5 \end{vmatrix} \]
Вычисление \(D_x\):
\[ D_x = 1 \cdot (3 \cdot 5 - (-4)(-2)) - (-2)(-2 \cdot 5 - (-4) \cdot 1) + 3(-2 \cdot (-2) - 3 \cdot 1) \] \[ = 1 \cdot (15 - 8) - 2(10 - 4) + 3(4 - 3) \] \[ = 7 - 2 \cdot 6 + 3 \cdot 1 \] \[ = 7 - 12 + 3 = -2 \]
- Для \(D_y\):
\[ D_y = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & -2 & -4 \\ 3 & 1 & 5 \end{vmatrix} \]
Вычисление \(D_y\):
\[ D_y = 1 \cdot (-2 \cdot 5 - (-4) \cdot 1) - 1(2 \cdot 5 - (-4) \cdot 3) + 3(2 \cdot 1 - (-2) \cdot 3) \] \[ = 1 \cdot (-10 + 4) - (10 + 12) + 3(2 + 6) \] \[ = -6 - 22 + 24 = -4 \]
- Для \(D_z\):
\[ D_z = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 3 & -2 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} \]
Вычисление \(D_z\):
\[ D_z = 1 \cdot (3 \cdot 1 - (-2) \cdot (-2)) - (-2)(2 \cdot 1 - (-2) \cdot 3) + 1(2 \cdot (-2) - 3 \cdot 3) \] \[ = 1 \cdot (3 - 4) + 2(2 + 6) + ( -4 - 9) \] \[ = -1 + 2 \cdot 8 - 13 = -1 + 16 - 13 = 2 \]
Сейчас найдем значения переменных:
\[ x = \frac{D_x}{|A|} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6} \] \[ y = \frac{D_y}{|A|} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3} \] \[ z = \frac{D_z}{|A|} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \]
Таким образом, решение системы уравнений:
\[ x = -\frac{1}{6}, \quad y = -\frac{1}{3}, \quad z = \frac{1}{6} \]
