Даны вершины тетраэдра А(1;3;6),В(2;2;1),С(-1;0;1),D(-4;6;-3) Найти длину его высоты,опущенной из вершины D

Для нахождения длины высоты тетраэдра, опущенной из вершины D на основание ABC, сначала необходимо найти площадь треугольника ABC и длину отрезка, перпендикулярного плоскости треугольника ABC и проходящего через точку D.

Шаг 1: Найдем векторы AB, AC и BC

Вектор \(\overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (2-1; 2-3; 1-6) = (1; -1; -5) \]

Вектор \(\overrightarrow{AC}\): \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (-1-1; 0-3; 1-6) = (-2; -3; -5) \]

Вектор \(\overrightarrow{BC}\): \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (-1-2; 0-2; 1-1) = (-3; -2; 0) \]

Шаг 2: Найдем нормальный вектор к плоскости ABC

Чтобы найти нормальный вектор \( \overrightarrow{n} \) к плоскости ABC, необходимо вычислить векторное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\):

\[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \]

Вычислим определитель:

\[ \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & -5 \\ -2 & -3 & -5 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-5) - (-5)(-3)) - \mathbf{j}(1 \cdot (-5) - (-5)(-2)) + \mathbf{k}(1 \cdot (-3) - (-1)(-2)) \]

\[ = \mathbf{i}(5 - 15) - \mathbf{j}(-5 + 10) + \mathbf{k}(-3 - 2) \] \[ = \mathbf{i}(-10) - \mathbf{j}(5) - \mathbf{k}(5) \]

Таким образом, нормальный вектор равен: \[ \overrightarrow{n} = (-10; -5; -5) \]

Шаг 3: Найдем площадь треугольника ABC

Площадь треугольника ABC можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{n}| \]

Сначала найдем модуль вектора \( \overrightarrow{n} \): \[ |\overrightarrow{n}| = \sqrt{(-10)^2 + (-5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{100 + 25 + 25} = \sqrt{150} = 5\sqrt{6} \] Следовательно: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{6} = \frac{5\sqrt{6}}{2} \]

Шаг 4: Найдем расстояние от точки D до плоскости ABC

Расстояние от точки D до плоскости можно найти по формуле: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]

Для нахождения коэффициентов плоскости (A, B, C, D) мы можем использовать нормальный вектор \( \overrightarrow{n} = (-10; -5; -5) \) и точку A(1, 3, 6): \[ -10(x - 1) - 5(y - 3) - 5(z - 6) = 0 \]

Раскроем скобки и приведем к каноническому виду: \[ -10x - 5y - 5z + 10 + 15 + 30 = 0 \Rightarrow -10x - 5y - 5z + 55 = 0 \] Таким образом, \( A = -10, B = -5, C = -5, D = 55 \).

Теперь подставим координаты точки D(-4, 6, -3): \[ d = \frac{|-10(-4) - 5(6) - 5(-3) + 55|}{\sqrt{(-10)^2 + (-5)^2 + (-5)^2}} = \frac{|40 - 30 + 15 + 55|}{\sqrt{150}} = \frac{|80|}{5\sqrt{6}} = \frac{80}{5\sqrt{6}} = \frac{16}{\sqrt{6}} \]

Таким образом, высота, опущенная из вершины D на основание ABC, равна: \[ d = \frac{16\sqrt{6}}{6} \approx 6.53 \quad (\text{в случае необходимости можно оставить в изначальном виде}) \]

Ответ:

Высота тетраэдра, опущенная из вершины D на основание ABC, равна \(\frac{16}{\sqrt{6}}\).