sinx≤√2/2

Чтобы решить неравенство \( \sin x \leq \frac{\sqrt{2}}{2} \), сначала нужно понять, при каких значениях \( x \) синус равен \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Значение \( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \) достигается при углах \( x = \frac{\pi}{4} \) и \( x = \frac{3\pi}{4} \) в диапазоне \( [0, 2\pi] \). Поскольку синус периодична с периодом \( 2\pi \), решения также будут включать смещения на период:

1. \( x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \) и \( x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \), где \( k \) — любое целое число.

Теперь, чтобы найти промежутки, где \( \sin x \leq \frac{\sqrt{2}}{2} \), рассмотрим, что синус функции принимает значения от \( -1 \) до \( 1 \). На интервале \( [0, 2\pi] \) график синуса находится ниже \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) в промежутках:

• от \( 0 \) до \( \frac{\pi}{4} \) (включая)
• от \( \frac{3\pi}{4} \) до \( \frac{3\pi}{2} \)
• от \( \frac{3\pi}{2} \) до \( \frac{7\pi}{4} \) (включая)
• от \( \frac{7\pi}{4} \) до \( 2\pi \)

А обобщая это, мы получаем:

1. \( x \in [0; \frac{\pi}{4}] \)
2. \( x \in [\frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{2}] \)
3. \( x \in [\frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{4}] \)
4. \( x \in [\frac{7\pi}{4}; 2\pi] \)

Для окончательного ответа, обобщая на все периоды, результаты будут вида:

\[ x \in [2k\pi; \frac{\pi}{4} + 2k\pi] \cup [\frac{3\pi}{4} + 2k\pi; \frac{3\pi}{2} + 2k\pi] \cup [\frac{3\pi}{2} + 2k\pi; \frac{7\pi}{4} + 2k\pi] \cup [\frac{7\pi}{4} + 2k\pi; 2\pi + 2k\pi], \]

где \( k \) — целое число.