3.а) Постройте график функции y=x^2-2x-8 б) Укажите значение аргумента при которых функция принимает отрицательные значения. в) Укажите промежуток на котором функция убывает

3.а) Для построения графика функции \( y = x^2 - 2x - 8 \), сначала найдем её вершину.

Формула для нахождения координат вершины параболы имеет вид: \[ x_v = -\frac{b}{2a} \] где \( a = 1 \) и \( b = -2 \). Подставляя значения, получаем: \[ x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1 \]

Теперь подставим \( x_v \) в уравнение функции, чтобы найти значение \( y_v \): \[ y_v = (1)^2 - 2(1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9 \]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (1, -9) \).

Для построения графика, можно также найти пересечения с осью X (корни уравнения) по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Подставим наши значения: \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2} \] Это дает два корня: \[ x_1 = \frac{8}{2} = 4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-4}{2} = -2 \]

Теперь, чтобы построить график, можно отметить точки: вершину \( (1, -9) \), точки пересечения с осью X: \( (-2, 0) \) и \( (4, 0) \), а также значение функции при \( x = 0 \): \[ y(0) = (0)^2 - 2(0) - 8 = -8 \]

График будет параболой, открытой вверх, с вершиной в точке \( (1, -9) \) и пересечениями с осью X в \( (-2, 0) \) и \( (4, 0) \).

3.б) Чтобы найти значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения, нужно решить неравенство: \[ x^2 - 2x - 8 < 0 \] Функция меняет знак между корнями, т.е. на промежутке между \( x_1 = -2 \) и \( x_2 = 4 \). Таким образом, функция отрицательна для: \[ -2 < x < 4 \]

3.в) Функция убывает, когда её производная меньше нуля. Найдем производную: \[ y' = 2x - 2 \] Найдем, когда производная равна нулю: \[ 2x - 2 = 0 \implies x = 1 \] Для \( x < 1 \), \( y' < 0 \), а для \( x > 1 \), \( y' > 0 \). Следовательно, функция убывает на промежутке: \[ (-\infty, 1) \]

Итак, подведем итоги: а) График функции — парабола с вершиной в \( (1, -9) \). б) Функция принимает отрицательные значения на промежутке \( (-2, 4) \). в) Функция убывает на промежутке \( (-\infty, 1) \).