Каким количеством способов можно выбрать 4 разных и одинаковых пирожных в кондитерской, где есть 7 разных сортов? Впишите ответ в ячейку (целое число).

Для решения задачи необходимо определить, сколько способов можно выбрать 4 одинаковых пирожных из 7 различных сортов. Это означает, что нам нужно найти количество неотрицательных целых решений для уравнения:

\[ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 = 4, \]

где \( x_i \) — количество пирожных выбранного сорта (i-того сорта).

Здесь мы можем использовать метод звездочек и палочек (или метод комбинаторики), который позволяет решить задачи такого рода. Формула для нахождения количества решений уравнения вида \( x_1 + x_2 + ... + x_n = k \) (где \( x_i \) неотрицательны) выглядит так:

\[ C(n + k - 1, k), \]

где \( C \) — это биномиальный коэффициент, а \( n \) — количество сортов, а \( k \) — общее количество предметов, которые мы хотим выбрать.

В нашем случае \( n = 7 \) (сорта пирожных) и \( k = 4 \) (пирожные).

Таким образом, мы можем подставить наши значения в формулу:

\[ C(7 + 4 - 1, 4) = C(10, 4). \]

Теперь посчитаем биномиальный коэффициент \( C(10, 4) \):

\[ C(10, 4) = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5040}{24} = 210. \]

Таким образом, количество способов выбрать 4 одинаковых пирожных из 7 разных сортов равно 210.