Найдите площадь прямоугольного треугольника, если высота, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, равные 3 и 12.

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, нам нужно знать как основание, так и высоту. В данном случае высота из вершины прямого угла делит гипотенузу на два отрезка длиной 3 и 12.

Обозначим гипотенузу \( c \). Она равна \( 3 + 12 = 15 \).

Согласно свойству высоты в прямоугольном треугольнике, высота \( h \), проведённая из прямого угла, делится по формуле:

\[ h = \frac{a \cdot b}{c} \]

где \( a \) и \( b \) — катеты треугольника, а \( c \) — гипотенуза. Однако в нашем случае мы можем также воспользоваться известным свойством высоты, проведенной к гипотенузе:

\[ h = \frac{AB \cdot AC}{c} = \frac{3 \cdot 12}{15} = \frac{36}{15} = 2.4 \]

Теперь, чтобы найти площадь треугольника \( S \), используем формулу:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h \]

Подставим известные значения:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 2.4 = \frac{15 \cdot 2.4}{2} = \frac{36}{2} = 18 \]

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника равна 18 квадратных единиц.