Реши неравенство (12-5х) (Х²-4х+4) >0
Чтобы решить неравенство \( (12 - 5x)(x^2 - 4x + 4) > 0 \), сначала рассмотрим каждый множитель отдельно.
Найдем нули первого множителя:
\( 12 - 5x = 0 \)
Решаем это уравнение:
\[ 5x = 12 \implies x = \frac{12}{5} \]
Найдем нули второго множителя:
\( x^2 - 4x + 4 = 0 \)
Это уравнение можно факторизовать:
\[ (x - 2)^2 = 0 \implies x = 2 \]
Заметим, что \( x = 2 \) является кратным корнем.
Теперь у нас есть нули \( x = \frac{12}{5} \) и \( x = 2 \) (кратный). Перейдем к составлению интервалов, учитывая, что \( x = 2 \) имеет кратность 2, что означает, что знак выражения не изменяется в этом пункте.
Нам нужно проверить знак произведения в интервалах между нулями и за их пределами:
- Интервал 1: \( (-\infty, 2) \)
- Интервал 2: \( (2, \frac{12}{5}) \)
- Интервал 3: \( (\frac{12}{5}, +\infty) \)
Теперь можно выбрать тестовую точку из каждого интервала:
Для интервала \( (-\infty, 2) \), например, возьмем \( x = 0 \): \[ (12 - 5 \cdot 0)(0^2 - 4 \cdot 0 + 4) = 12 \cdot 4 = 48 > 0 \]
Для интервала \( (2, \frac{12}{5}) \), например, возьмем \( x = 2.5 \): \[ (12 - 5 \cdot 2.5)(2.5^2 - 4 \cdot 2.5 + 4) = (12 - 12.5)(6.25 - 10 + 4) = (-0.5)(0.25) < 0 \]
Для интервала \( (\frac{12}{5}, +\infty) \), например, возьмем \( x = 3 \): \[ (12 - 5 \cdot 3)(3^2 - 4 \cdot 3 + 4) = (12 - 15)(9 - 12 + 4) = (-3)(1) < 0 \]
Собирая результаты:
- На интервале \( (-\infty, 2) \) результат положительный.
- На интервале \( (2, \frac{12}{5}) \) результат отрицательный.
- На интервале \( (\frac{12}{5}, +\infty) \) результат отрицательный.
Теперь рассмотрим, где неравенство выполняется: \( (12 - 5x)(x^2 - 4x + 4) > 0 \) выполняется в интервале \( (-\infty, 2) \).
Итак, окончательный ответ:
\[ x \in (-\infty, 2) \]
