Решить систему уравнений: 2x+3y+z = 1 3x-y+2z = 1 x+4y-z = 2
Чтобы решить систему уравнений:
- \( 2x + 3y + z = 1 \)
- \( 3x - y + 2z = 1 \)
- \( x + 4y - z = 2 \)
можно использовать метод подстановки или метод исключения. Я опишу метод исключения.
Сначала обозначим уравнения:
- Уравнение (1): \( 2x + 3y + z = 1 \)
- Уравнение (2): \( 3x - y + 2z = 1 \)
- Уравнение (3): \( x + 4y - z = 2 \)
Шаг 1: Выразим z из уравнения (1)
Из уравнения (1) выразим \( z \):
\[ z = 1 - 2x - 3y \]
Шаг 2: Подставим z в уравнения (2) и (3)
Подставим значение \( z \) в уравнения (2) и (3):
Для уравнения (2):
\[ 3x - y + 2(1 - 2x - 3y) = 1 \]
Раскроем скобки:
\[ 3x - y + 2 - 4x - 6y = 1 \]
\[ -x - 7y + 2 = 1 \]
\[ -x - 7y = -1 \]
\[ x + 7y = 1 \] (Уравнение (4))
Для уравнения (3):
\[ x + 4y - (1 - 2x - 3y) = 2 \]
\[ x + 4y - 1 + 2x + 3y = 2 \]
\[ 3x + 7y - 1 = 2 \]
\[ 3x + 7y = 3 \] (Уравнение (5))
Шаг 3: Решим систему уравнений (4) и (5)
Теперь у нас есть новая система:
- \( x + 7y = 1 \) (уравнение (4))
- \( 3x + 7y = 3 \) (уравнение (5))
Теперь вычтем уравнение (4) из (5):
\[ (3x + 7y) - (x + 7y) = 3 - 1 \] \[ 2x = 2 \] \[ x = 1 \]
Шаг 4: Найдем y, подставив x в (4)
Теперь подставим значение \( x \) в уравнение (4):
\[ 1 + 7y = 1 \] \[ 7y = 0 \] \[ y = 0 \]
Шаг 5: Найдем z, подставив x и y в (1)
Теперь подставим значения \( x \) и \( y \) в уравнение для \( z \):
\[ z = 1 - 2(1) - 3(0) = 1 - 2 = -1 \]
Ответ:
Итак, найденные значения:
\[ x = 1, \quad y = 0, \quad z = -1 \]
Таким образом, решение системы уравнений: \( (x, y, z) = (1, 0, -1) \).
