x ^ 2 - 2x - 3 > 0 |x - 2| <6 решить неравенство
Для решения системы неравенств \( x^2 - 2x - 3 > 0 \) и \( |x - 2| < 6 \) давайте разберём их по отдельности.
Решим первое неравенство: \( x^2 - 2x - 3 > 0 \).
Сначала найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 2x - 3 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16. \]
Найдем корни: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 4}{2} = 3, \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 4}{2} = -1. \]
Теперь мы знаем корни: \( x_1 = 3 \), \( x_2 = -1 \). Рисуем числовую линию и отмечаем эти точки.
Посмотрим знаки на интервалах:
- Для \( (-\infty, -1) \): подставим \( x = -2 \) → \( 4 + 4 - 3 = 5 > 0 \).
- Для \( (-1, 3) \): подставим \( x = 0 \) → \( 0 - 0 - 3 = -3 < 0 \).
- Для \( (3, +\infty) \): подставим \( x = 4 \) → \( 16 - 8 - 3 = 5 > 0 \).
Результат: \( x^2 - 2x - 3 > 0 \) при \( x < -1 \) и \( x > 3 \).
Теперь решим второе неравенство: \( |x - 2| < 6 \).
Это неравенство можно переписать как: \[ -6 < x - 2 < 6. \] Прибавим 2 ко всем частям: \[ -4 < x < 8. \]
Объединим решения.
Нам нужно найти пересечение двух решений:
- Первое неравенство: \( x < -1 \) и \( x > 3 \).
- Второе неравенство: \( -4 < x < 8 \).
Теперь определим пересечения:
- Для \( x < -1 \): пересечение с \( -4 < x < 8 \) дает \( -4 < x < -1 \).
- Для \( x > 3 \): пересечение с \( -4 < x < 8 \) дает \( 3 < x < 8 \).
Таким образом, окончательный ответ: \[ x \in (-4, -1) \cup (3, 8). \]
Если есть дополнительные вопросы или нужны пояснения, не стесняйтесь спрашивать!
