Найди косинус угла при вершине осевого сечения конуса, если радиус основания конуса равен 2, а образующая равна 5.

Чтобы найти косинус угла при вершине осевого сечения конуса, нам понадобится рассмотреть треугольник, образованный радиусом основания, образующей и высотой конуса.

Обозначим:

• \( r = 2 \) — радиус основания,
• \( l = 5 \) — образующая.

Сначала найдем высоту \( h \) конуса. Для этого используем теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза — это образующая, а катеты — радиус основания и высота:

\[ l^2 = r^2 + h^2 \]

Подставим значения:

\[ 5^2 = 2^2 + h^2 \] \[ 25 = 4 + h^2 \] \[ h^2 = 25 - 4 \] \[ h^2 = 21 \] \[ h = \sqrt{21} \]

Теперь мы можем найти косинус угла \(\alpha\) при вершине конуса. Косинус угла равен отношению длины прилежащего катета (высоты \( h \)) к длине гипотенузы (образующей \( l \)):

\[ \cos \alpha = \frac{h}{l} = \frac{\sqrt{21}}{5} \]

Таким образом, косинус угла при вершине осевого сечения конуса равен:

\[ \cos \alpha = \frac{\sqrt{21}}{5} \]