x ^ 2 - x - 6 <0 |x| > 1 решить неравенство
Давайте решим неравенства по очереди.
- Решим первое неравенство: \(x^2 - x - 6 < 0\).
Сначала найдем корни соответствующего уравнения \(x^2 - x - 6 = 0\). Для этого можно воспользоваться формулой корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Где \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -6\).
Подставляем значения:
\[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} \]
Таким образом, корни получаются:
\[ x_1 = \frac{6}{2} = 3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-4}{2} = -2 \]
Теперь у нас есть два корня: \(x_1 = 3\) и \(x_2 = -2\). Эти корни делят числовую ось на три промежутка: \((- \infty, -2)\), \((-2, 3)\) и \((3, +\infty)\).
Теперь нужно определить, на каком из этих промежутков неравенство \(x^2 - x - 6 < 0\) выполняется. Для этого проверим тестовые точки в каждом из промежутков:
Для промежутка \((- \infty, -2)\), например, \(x = -3\): \[ (-3)^2 - (-3) - 6 = 9 + 3 - 6 = 6 \quad (\text{не менее 0}) \]
Для промежутка \((-2, 3)\), например, \(x = 0\): \[ 0^2 - 0 - 6 = -6 \quad (\text{менее 0}) \]
Для промежутка \((3, +\infty)\), например, \(x = 4\): \[ 4^2 - 4 - 6 = 16 - 4 - 6 = 6 \quad (\text{не менее 0}) \]
Таким образом, \(x^2 - x - 6 < 0\) выполняется на промежутке \((-2, 3)\).
- Теперь решим второе неравенство: \(|x| > 1\).
Неравенство \(|x| > 1\) можно переписать в виде двух условий:
- \(x < -1\) или
- \(x > 1\)
Теперь у нас есть два условия: \(x \in (-2, 3)\) и \(|x| > 1\).
Теперь нужно найти пересечение между \((-2, 3)\) и \((- \infty, -1) \cup (1, +\infty)\):
- Пересечение с \(x < -1\) дает \((-2, -1)\).
- Пересечение с \(x > 1\) дает \((1, 3)\).
Итак, окончательный ответ для системы неравенств будет:
\[ (-2, -1) \cup (1, 3) \]
Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!
