Вычислить первую космическую скорость до Земли, если её сообщают телу на высоте, равной двум радиусам Земли от её поверхности

Чтобы вычислить первую космическую скорость, необходимую для достижения орбиты вокруг Земли на высоте, равной двум радиусам Земли от её поверхности, можно воспользоваться формулой для расчёта первой космической скорости:

\[ v = \sqrt{\frac{GM}{R}} \]

где:

• \(v\) — первая космическая скорость,
• \(G\) — гравитационная постоянная (\(6.674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2\)),
• \(M\) — масса Земли (\(5.972 \times 10^{24} \, \text{кг}\)),
• \(R\) — расстояние от центра Земли до тела.

Давайте рассчитаем \(R\). Радиус Земли примерно равен \(R_{\text{З}} \approx 6.371 \times 10^6 \, \text{м}\). Поскольку мы рассматриваем высоту, равную двум радиусам от поверхности Земли, рассчитываем:

\[ R = R_{\text{З}} + 2R_{\text{З}} = 3R_{\text{З}} = 3 \times 6.371 \times 10^6 \, \text{м} \approx 1.9113 \times 10^7 \, \text{м} \]

Теперь подставим значения в формулу:

\[ v = \sqrt{\frac{(6.674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2) \cdot (5.972 \times 10^{24} \, \text{кг})}{1.9113 \times 10^{7} \, \text{м}}} \]

Сначала рассчитаем числитель:

\[ GM = 6.674 \times 10^{-11} \times 5.972 \times 10^{24} \approx 3.986 \times 10^{14} \, \text{м}^3/\text{с}^2 \]

Теперь подставляем в уравнение для скорости:

\[ v = \sqrt{\frac{3.986 \times 10^{14}}{1.9113 \times 10^{7}}} \approx \sqrt{2.084 \times 10^{7}} \approx 4561.4 \, \text{м/с} \]

Таким образом, первая космическая скорость на высоте, равной двум радиусам Земли от её поверхности, составляет приблизительно 4561 м/с.