Реши неравенство (х²-5х+6) (х-3) <0
Для решения неравенства \((x² - 5x + 6)(x - 3) < 0\) начнем с нахождения корней каждого выражения.
Найдем корни первого множителя \(x² - 5x + 6\): Используем метод разложения на множители или формулу корней квадратного уравнения. Здесь можно разложить на множители: \[ x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) \] Таким образом, корнями являются \(x = 2\) и \(x = 3\).
Найдем корень второго множителя \(x - 3\): Корень этого выражения также равен \(x = 3\).
Теперь у нас есть корни:
- \(x = 2\) (из первого множителя)
- \(x = 3\) (из первого и второго множителей)
- Определим промежутки: Корни \(x = 2\) и \(x = 3\) делят числовую прямую на три интервала:
- \((-∞, 2)\)
- \((2, 3)\)
- \((3, +∞)\)
- Проверим знаки на каждом интервале:
Для интервала \((-∞, 2)\): Выберем, например, \(x = 0\): \((0² - 5 \cdot 0 + 6)(0 - 3) = 6 \cdot (-3) < 0\) (меньше нуля)
Для интервала \((2, 3)\): Выберем, например, \(x = 2.5\): \((2.5² - 5 \cdot 2.5 + 6)(2.5 - 3) = (6.25 - 12.5 + 6) \cdot (-0.5) = (−0.25) \cdot (−0.5) > 0\) (больше нуля)
Для интервала \((3, +∞)\): Выберем, например, \(x = 4\): \((4² - 5 \cdot 4 + 6)(4 - 3) = (16 - 20 + 6) \cdot 1 = 2 > 0\) (больше нуля)
- Итак, определяем, где неравенство выполняется: Нам нужно, чтобы произведение было меньше нуля, что происходит на интервале \((-∞, 2)\).
Таким образом, окончательный ответ: \[ x \in (-\infty, 2) \]
Неравенство выполняется для всех \(x\) из интервала \((-∞, 2)\).
