В треугольнике ABC на стороне BC взяты две точки D и E причём расстояние от точки B до точки D меньше расстояние от точки D до точки C на расстоянии от точки C до точки E меньше…

Для решения этой задачи начнем с анализа заданных условий. В треугольнике ABC угол при вершине A равен 75°, то есть \( \angle BAC = 75° \).

1. Обозначим угол \( \angle DAB \) как \( x \). Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, у нас получится: \[ \angle DAE + \angle DAB + \angle EAC = 180° - \angle A = 180° - 75° = 105°. \] Мы знаем, что \( \angle DAE = 41° \). Поэтому: \[ 41° + x + \angle EAC = 105°. \]

2. Обозначим угол \( \angle EAC \) как \( y \). Теперь имеем: \[ 41° + x + y = 105°. \] Это можно переписать как: \[ x + y = 105° - 41° = 64°. \] То есть \( y = 64° - x \).

3. Теперь рассмотрим биссектрису \( AK \) угла \( DAB \). Поскольку \( AK \) является биссектрисой, то у нас выполнено равенство: \[ \frac{\sin(\angle DAB)}{\sin(\angle DAB)} = \frac{BK}{KC}, \] что указывается через углы, образуемые биссектрисой.

4. Подобным образом, рассмотрим биссектрису \( AM \) угла \( EAC \). Так как \[ \frac{\sin(\angle EAC)}{\sin(\angle EAC)} = \frac{BM}{ME}. \]

5. У нас есть углы: \( x \) и \( y \), которые явно связаны. Чтобы найти угол \( \angle KAN \), нам необходимо выразить его в зависимости от \( x \).

Из предыдущих шагов также буквально у нас есть: \[ \angle KAN = \frac{1}{2}( \angle DAB + \angle EAC) = \frac{1}{2}(x + (64° - x)) = \frac{64°}{2} = 32°. \]

Таким образом, угол \( KAN \) равен \( 32° \).

Ответ: 32°.