Чесу равен коэффициент k в уравнении касательной y=kx+b к графику функции f(x)=e³x×2x+2 в точке х=0?

Чтобы найти коэффициент \( k \) в уравнении касательной \( y = kx + b \) к графику функции \( f(x) = e^{3x} \cdot (2x + 2) \) в точке \( x = 0 \), нам необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найти значение функции в точке \( x = 0 \): \[ f(0) = e^{3 \cdot 0} \cdot (2 \cdot 0 + 2) = e^0 \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2 \] Таким образом, \( f(0) = 2 \).

2. Найти производную функции \( f(x) \) для определения углового коэффициента \( k \) касательной: Чтобы найти производную, применим правило произведения и правило цепи: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(e^{3x}) \cdot (2x + 2) + e^{3x} \cdot \frac{d}{dx}(2x + 2) \] Сначала найдем каждую производную:

   • Производная \( e^{3x} \) равна \( 3e^{3x} \).
   • Производная \( 2x + 2 \) равна \( 2 \).

   Таким образом, подставляя эти значения, мы получаем: \[ f'(x) = 3e^{3x} \cdot (2x + 2) + e^{3x} \cdot 2 \] Упрощаем: \[ f'(x) = e^{3x} [3(2x + 2) + 2] = e^{3x} [6x + 6 + 2] = e^{3x} (6x + 8) \]

3. Найти производную в точке \( x = 0 \): \[ f'(0) = e^{3 \cdot 0} (6 \cdot 0 + 8) = 1 \cdot 8 = 8 \]

4. Итак, коэффициент \( k \) равен производной в данной точке: \[ k = f'(0) = 8 \]

Следовательно, коэффициент \( k \) в уравнении касательной составляет \( 8 \).