Дано координати трьох вершин паралелограма АВCD: A(1;2), C(-2;4), D(7;-1). Знайдіть координати верши ни В.
Чтобы найти координаты вершины B параллелограмма ABCD, давайте воспользуемся свойствами параллелограмма. В параллелограмме противоположные вершины делят друг друга пополам.
Дано:
- A(1; 2)
- C(-2; 4)
- D(7; -1)
Для начала найдем координаты вершины B, зная, что сумма координат противоположных вершин (A и C, D и B) должна быть равна. Мы можем использовать формулу для нахождения центра отрезка, который соединяет две точки.
Координаты середины отрезка AC можно найти следующим образом: \[ M_{AC} = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right) \] Подставим координаты A и C: \[ M_{AC} = \left( \frac{1 - 2}{2}, \frac{2 + 4}{2} \right) = \left( \frac{-1}{2}, 3 \right) \]
Теперь вычислим координаты вершины B, используя координаты середины отрезка BD. С учетом того что середина BD равна M_AC, мы можем записать: \[ M_{BD} = \left( \frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2} \right) = \left( \frac{x_B + 7}{2}, \frac{y_B - 1}{2} \right) \]
Итак, приравняем координаты M_AC и M_BD:
- \(\frac{x_B + 7}{2} = -\frac{1}{2}\)
- \(\frac{y_B - 1}{2} = 3\)
Теперь решим первое уравнение: \[ x_B + 7 = -1 \implies x_B = -1 - 7 = -8 \]
Теперь решим второе уравнение: \[ y_B - 1 = 6 \implies y_B = 6 + 1 = 7 \]
Таким образом, координаты вершины B равны: \[ B(-8; 7) \]
Итак, координаты вершины B параллелограмма ABCD: B(-8; 7).
