Решите подстановкой систему уравнений: 1) x + y = 5 ,\\ xy=6; 2) y+x^ 2 =3\\ y = x - 1 ; , 3) x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ,\\ x+y=2; 4) x ^ 2 + y ^ 2 = 25 ,\\ xy=-12.
Конечно! Давайте решим каждую из предложенных систем уравнений методом подстановки.
1) Система уравнений:
- \( x + y = 5 \)
- \( xy = 6 \)
Сначала выразим \( y \) из первого уравнения:
\[ y = 5 - x \]
Теперь подставим это значение во второе уравнение:
\[ x(5 - x) = 6 \]
\[ 5x - x^2 = 6 \]
\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]
Теперь решим квадратное уравнение:
\[ (x - 2)(x - 3) = 0 \]
Таким образом, \( x = 2 \) или \( x = 3 \). Теперь найдем соответствующие значения \( y \):
Если \( x = 2 \): \[ y = 5 - 2 = 3 \]
Если \( x = 3 \): \[ y = 5 - 3 = 2 \]
Итак, решения: \( (2, 3) \) и \( (3, 2) \).
2) Система уравнений:
- \( y + x^2 = 3 \)
- \( y = x - 1 \)
Первое уравнение можно переписать как:
\[ y = 3 - x^2 \]
Теперь подставим \( y \) из второго уравнения:
\[ x - 1 = 3 - x^2 \]
\[ x^2 + x - 4 = 0 \]
Решим квадратное уравнение:
\[ (x - 2)(x + 2) = 0 \]
Таким образом, \( x = 2 \) или \( x = -2 \). Найдем \( y \) для каждого значения \( x \):
Если \( x = 2 \): \[ y = 2 - 1 = 1 \]
Если \( x = -2 \): \[ y = -2 - 1 = -3 \]
Решения: \( (2, 1) \) и \( (-2, -3) \).
3) Система уравнений:
- \( x^2 + y^2 = 4 \)
- \( x + y = 2 \)
Сначала выразим \( y \) из второго уравнения:
\[ y = 2 - x \]
Теперь подставим это значение в первое уравнение:
\[ x^2 + (2 - x)^2 = 4 \]
\[ x^2 + (4 - 4x + x^2) = 4 \]
\[ 2x^2 - 4x + 4 - 4 = 0 \]
\[ 2x^2 - 4x = 0 \]
\[ 2x(x - 2) = 0 \]
Таким образом, \( x = 0 \) или \( x = 2 \). Найдем \( y \):
Если \( x = 0 \): \[ y = 2 - 0 = 2 \]
Если \( x = 2 \): \[ y = 2 - 2 = 0 \]
Решения: \( (0, 2) \) и \( (2, 0) \).
4) Система уравнений:
- \( x^2 + y^2 = 25 \)
- \( xy = -12 \)
Сначала выразим \( y \) через \( x \). Из второго уравнения:
\[ y = \frac{-12}{x} \]
Теперь подставим в первое уравнение:
\[ x^2 + \left(\frac{-12}{x}\right)^2 = 25 \]
\[ x^2 + \frac{144}{x^2} = 25 \]
Умножим на \( x^2 \) чтобы избавиться от дробей:
\[ x^4 - 25x^2 + 144 = 0 \]
Обозначим \( z = x^2 \):
\[ z^2 - 25z + 144 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение:
\[ (z - 16)(z - 9) = 0 \]
Таким образом, \( z = 16 \) или \( z = 9 \). Найдем \( x \):
- Если \( x^2 = 16 \), то \( x = 4 \) или \( x = -4 \).
- Если \( x^2 = 9 \), то \( x = 3 \) или \( x = -3 \).
Теперь найдем \( y \) для каждого значения \( x \):
- Для \( x = 4 \): \[ y = \frac{-12}{4} = -3 \]
- Для \( x = -4 \): \[ y = \frac{-12}{-4} = 3 \]
- Для \( x = 3 \): \[ y = \frac{-12}{3} = -4 \]
- Для \( x = -3 \): \[ y = \frac{-12}{-3} = 4 \]
Решения: \( (4, -3) \), \( (-4, 3) \), \( (3, -4) \), \( (-3, 4) \).
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно объяснить какой-то этап подробнее, дайте знать!
