. Исследуйте, начиная с какого номера, члены последовательно- сти (а), заданной формулой n-го члена: а) a * = n ^ 2 - 7n положительные; 6) a_{e} = - n ^ 2 + 4n + 5 отрицательные.
Давайте исследуем последовательности, заданные данными формулами.
- Положительные члены последовательности \( a_n = n^2 - 7n \)
Чтобы определить, начиная с какого номера \( n \) члены последовательности положительные, необходимо решить неравенство:
\[ n^2 - 7n > 0 \]
Решим это уравнение. Сначала найдем корни уравнения \( n^2 - 7n = 0 \):
\[ n(n - 7) = 0 \]
Корни этого уравнения:
- \( n = 0 \)
- \( n = 7 \)
Теперь исследуем знаки на интервалах, определенных корнями: \( (-\infty, 0) \), \( (0, 7) \), \( (7, \infty) \).
- В интервале \( (-\infty, 0) \) оба множителя \( n \) и \( n - 7 \) отрицательные, следовательно, произведение положительное.
- В интервале \( (0, 7) \) первый множитель \( n \) положительный, а второй отрицательный, следовательно, произведение отрицательное.
- В интервале \( (7, \infty) \) оба множителя положительные, следовательно, произведение положительное.
Таким образом, последовательность \( a_n \) положительна при \( n < 0 \) и \( n > 7 \). Первые положительные значения появляются при \( n = 8 \).
- Отрицательные члены последовательности \( a_n = -n^2 + 4n + 5 \)
Теперь ищем, начиная с какого номера, члены последовательности будут отрицательными:
Решим неравенство:
\[ -n^2 + 4n + 5 < 0 \] или, преобразуя неравенство: \[ n^2 - 4n - 5 > 0 \]
Находим корни уравнения \( n^2 - 4n - 5 = 0 \):
Используем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 16 + 20 = 36 \]
Корни:
\[ n_{1,2} = \frac{4 \pm 6}{2} \Rightarrow n_1 = 5, n_2 = -1 \]
Теперь исследуем знаки на интервалах: \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 5) \), \( (5, \infty) \).
- В интервале \( (-\infty, -1) \) члены положительные.
- В интервале \( (-1, 5) \) члены отрицательные.
- В интервале \( (5, \infty) \) члены положительные.
Таким образом, последовательность \( a_n \) отрицательна для \( -1 < n < 5 \). Первые отрицательные значения появляются при \( n = 0, 1, 2, 3, 4 \).
Итак, для последовательности \( n^2 - 7n \) положительные члены начинаются с \( n = 8 \), а для последовательности \( -n^2 + 4n + 5 \) отрицательные члены - с \( n = 0 \) до \( n = 4 \).
