Постройте график функции y=-x^2-6x+7 с помощью графика найдите область определения и область значения нули функции промежутке законопостоянство промежутке возрастания и убывания наименьший и наибольший значение функции если они меняются

Question 1

Задача Задача №2135125

А

Аноним

07 ноября 2024 15:47 · публичный вопрос

А

Аноним 07 ноября 2024 15:47

Постройте график функции y=-x^2-6x+7 с помощью графика найдите область определения и область значения нули функции промежутке законопостоянство промежутке возрастания и убывания наименьший и наибольший значение функции если они меняются

Answer

Чтобы построить график функции \( y = -x^2 - 6x + 7 \) и проанализировать её характеристики, давайте поэтапно рассмотрим все необходимые моменты.

1. Построение графика функции

Для начала, можно записать функцию в канонической форме. Для этого воспользуемся методом выделения полного квадрата.

Исходная функция: \[ y = -x^2 - 6x + 7 \]

Выделим полный квадрат: \[ y = - (x^2 + 6x) + 7 \]

Теперь выделим квадрат: \[ y = - (x^2 + 6x + 9 - 9) + 7 \] \[ y = - ((x + 3)^2 - 9) + 7 \] \[ y = - (x + 3)^2 + 9 + 7 \] \[ y = - (x + 3)^2 + 16 \]

Теперь можно сказать, что функция имеет вид: \[ y = - (x + 3)^2 + 16 \] Это парабола, направленная вниз с вершиной в точке \((-3, 16)\).

2. Область определения и область значения

Область определения: Поскольку это квадратная функция, область определения \( D \) – это все действительные числа \( x \): \[ D: x \in (-\infty, +\infty) \]
Область значения: Так как функция направлена вниз, её максимальное значение равно 16 (в точке вершины). Минимального значения нет. Таким образом, область значения \( R \): \[ R: y \in (-\infty, 16] \]

3. Нули функции

Нужно найти, при каких значениях \( x \) \( y = 0 \): \[ -x^2 - 6x + 7 = 0 \] Умножим уравнение на -1: \[ x^2 + 6x - 7 = 0 \]

Теперь применим формулу корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1, b = 6, c = -7 \): \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2} \] \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{64}}{2} \] \[ x = \frac{-6 \pm 8}{2} \]

Таким образом, мы получаем два корня: \[ x_1 = \frac{2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-14}{2} = -7 \]

Итак, нули функции: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -7 \).

4. Промежутки возрастания и убывания

Функция будет возрастать до вершины и убывать после. Вершина находится в точке \( x = -3 \).

Возрастание: на интервале \( (-\infty, -3) \)
Убытие: на интервале \( (-3, +\infty) \)

5. Наименьшее и наибольшее значение функции

Наибольшее значение: 16 (в точке вершины).
Наименьшее значение: не ограничено, функция уходит к -∞.

Теперь, имея всю эту информацию, вы можете построить график функции и проанализировать её характеристики. Успехов в изучении!

Question 2

постройте график функции y=-x^2-6x+7 с помощью графика найдите область определения и область значения нули функции промежутке законопостоянство промежутке возрастания и убывания наименьший и наибольший значение функции если они меняются

Answer

Чтобы построить график функции \( y = -x^2 - 6x + 7 \) и проанализировать её характеристики, давайте поэтапно рассмотрим все необходимые моменты. ### 1. Построение графика функции Для начала, можно записать функцию в канонической форме. Для этого воспользуемся методом выделения полного квадрата. Исходная функция: \[ y = -x^2 - 6x + 7 \] Выделим полный квадрат: \[ y = - (x^2 + 6x) + 7 \] Теперь выделим квадрат: \[ y = - (x^2 + 6x + 9 - 9) + 7 \] \[ y = - ((x + 3)^2 - 9) + 7 \] \[ y = - (x + 3)^2 + 9 + 7 \] \[ y = - (x + 3)^2 + 16 \] Теперь можно сказать, что функция имеет вид: \[ y = - (x + 3)^2 + 16 \] Это парабола, направленная вниз с вершиной в точке \((-3, 16)\). ### 2. Область определения и область значения - **Область определения**: Поскольку это квадратная функция, область определения \( D \) – это все действительные числа \( x \): \[ D: x \in (-\infty, +\infty) \] - **Область значения**: Так как функция направлена вниз, её максимальное значение равно 16 (в точке вершины). Минимального значения нет. Таким образом, область значения \( R \): \[ R: y \in (-\infty, 16] \] ### 3. Нули функции Нужно найти, при каких значениях \( x \) \( y = 0 \): \[ -x^2 - 6x + 7 = 0 \] Умножим уравнение на -1: \[ x^2 + 6x - 7 = 0 \] Теперь применим формулу корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1, b = 6, c = -7 \): \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2} \] \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{64}}{2} \] \[ x = \frac{-6 \pm 8}{2} \] Таким образом, мы получаем два корня: \[ x_1 = \frac{2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-14}{2} = -7 \] Итак, нули функции: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -7 \). ### 4. Промежутки возрастания и убывания Функция будет возрастать до вершины и убывать после. Вершина находится в точке \( x = -3 \). - **Возрастание**: на интервале \( (-\infty, -3) \) - **Убытие**: на интервале \( (-3, +\infty) \) ### 5. Наименьшее и наибольшее значение функции - **Наибольшее значение**: 16 (в точке вершины). - **Наименьшее значение**: не ограничено, функция уходит к -∞. Теперь, имея всю эту информацию, вы можете построить график функции и проанализировать её характеристики. Успехов в изучении!