Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 10. При этом угол OAB равен 60°. Найдите радиус окружности.

Чтобы найти радиус окружности, давайте разберем данную задачу шаг за шагом.

Мы знаем, что угол AOB – это центральный угол, который опирается на хорду AB длиной 10. Угол OAB равен 60°.

Сначала заметим, что треугольник OAB является равнобедренным, поскольку стороны OA и OB – это радиусы одной окружности. Обозначим радиус окружности как R.

В треугольнике OAB можно применить закон косинусов, который утверждает:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]

Где:

• \( c \) – это длина стороны AB (которая равна 10),
• \( a \) и \( b \) – длины сторон OA и OB (обе равны R),
• \( C \) – угол между сторонами \( a \) и \( b \) (это угол OAB, равный 60°).

Подставляя известные значения, получаем:

\[ 10^2 = R^2 + R^2 - 2R^2 \cdot \cos(60^\circ) \]

Так как \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \), упростим уравнение:

\[ 100 = R^2 + R^2 - 2R^2 \cdot \frac{1}{2} \] \[ 100 = R^2 + R^2 - R^2 \] \[ 100 = R^2 \]

Теперь можем найти радиус:

\[ R^2 = 100 \] \[ R = \sqrt{100} \] \[ R = 10 \]

Таким образом, радиус окружности равен 10.