Из точки А, не лежащей на окружности проведена секущая АС и секущая АК, пересекающие окружность в точках В, С и М, К соответственно, начиная от точки А. Найдите длину отрезка АМ и МК, если АВ=3, АС=8, а отрезок АМ на 8 меньше отрезка МК.

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами секущих, проведённых из точки, не лежащей на окружности.

Дана информация:

• \( AB = 3 \)
• \( AC = 8 \)
• \( AM = MK - 8 \)

По теореме о секущих, из точки А, не лежащей на окружности, выполняется следующее равенство:

\[ AB \cdot AC = AM \cdot MK \]

Подставим известные значения:

\[ 3 \cdot 8 = AM \cdot MK \] \[ 24 = AM \cdot MK \]

Обозначим \( AM = x \). Тогда, из условия, \( MK = x + 8 \).

Теперь подставим это в равенство:

\[ 24 = x \cdot (x + 8) \]

Раскроем скобки:

\[ 24 = x^2 + 8x \]

Перепишем уравнение:

\[ x^2 + 8x - 24 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 64 + 96 = 160 \]

Находим корни уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{160}}{2} \] \[ \sqrt{160} = 4\sqrt{10}, \quad D = 8 \pm 4\sqrt{10} \]

Следовательно,

\[ x = \frac{-8 + 4\sqrt{10}}{2} \quad \text{или} \quad x = \frac{-8 - 4\sqrt{10}}{2} \]

Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, оставим только положительный корень:

\[ x = -4 + 2\sqrt{10} \]

Теперь найдем \( MK \):

\[ MK = x + 8 = (-4 + 2\sqrt{10}) + 8 = 4 + 2\sqrt{10} \]

Таким образом, длина отрезка \( AM \) равна \( -4 + 2\sqrt{10} \), а длина отрезка \( MK \) равна \( 4 + 2\sqrt{10} \).

Эти значения являются искомыми длинами отрезков.