Спортсмен по дартсу бросает дротик в центр мишени до тех пор пока не попадет в него. известно что он попадает в цель с вероятностью 0,2 при каждом отдельном броске дротика. Какое наименьшее количество бросков должен совершить спортсмен, чтобы поразить цель с вероятностью не менее 0,6?

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для вероятности того, что спортсмен не попадает в центр мишени за \(n\) бросков. Вероятность того, что он не попадает в цель за один бросок составляет \(0,8\) (так как вероятность попадания составляет \(0,2\)). Поэтому вероятность не попасть в цель за \(n\) бросков будет:

\[ P(не\ попасть) = 0,8^n \]

Соответственно, вероятность попасть хотя бы раз в цель за \(n\) бросков будет равна:

\[ P(попасть) = 1 - P(не\ попасть) = 1 - 0,8^n \]

Мы хотим, чтобы эта вероятность была не менее \(0,6\):

\[ 1 - 0,8^n \geq 0,6 \]

Теперь упростим неравенство:

\[ 0,8^n \leq 0,4 \]

Чтобы решить это неравенство, можем применить логарифмы:

\[ n \cdot \log(0,8) \leq \log(0,4) \]

Поскольку \(\log(0,8)\) – это отрицательное число, при делении нужно поменять знак неравенства:

\[ n \geq \frac{\log(0,4)}{\log(0,8)} \]

Теперь можем посчитать значения логарифмов. Используя логарифмы по основанию 10:

\[ \log(0,4) \approx -0,3979 \] \[ \log(0,8) \approx -0,0969 \]

Подставим полученные значения:

\[ n \geq \frac{-0,3979}{-0,0969} \approx 4,1 \]

Так как количество бросков \(n\) должно быть целым числом, округляем до ближайшего большего целого:

\[ n \geq 5 \]

Таким образом, спортсмен должен совершить не менее 5 бросков, чтобы попасть в цель с вероятностью не менее 0,6.