Сократите дробь 5a^2+19a-4/1-25a^3

Чтобы сократить дробь \(\frac{5a^2 + 19a - 4}{1 - 25a^3}\), начнем с разложения числителя и знаменателя на множители.

Шаг 1: Разложим числитель \(5a^2 + 19a - 4\).

Для этого мы можем воспользоваться методом нахождения корней квадратного уравнения. Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 19^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 361 + 80 = 441 \]

Корни уравнения находятся по формуле:

\[ a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-19 \pm 21}{10} \]

Таким образом, корни:

\[ a_1 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}; \quad a_2 = \frac{-40}{10} = -4 \]

Теперь можем представить числитель как:

\[ 5a^2 + 19a - 4 = 5(a - \frac{1}{5})(a + 4) \]

Шаг 2: Разложим знаменатель \(1 - 25a^3\).

Эта дробь можно считать разностью квадратов:

\[ 1 - 25a^3 = (1 - 5a)(1 + 5a + (5a)^2) = (1 - 5a)(1 + 5a + 25a^2) \]

Шаг 3: Теперь подставим разложение в дробь.

Итак, мы можем записать дробь в следующем виде:

\[ \frac{5(a - \frac{1}{5})(a + 4)}{(1 - 5a)(1 + 5a + 25a^2)} \]

Мы можем сократить на \(a - \frac{1}{5}\), если он присутствует в числителе и знаменателе. Однако в данном случае мы его с одной стороны не видим, поэтому итоговая дробь остается в разложенном виде.

Если дробь больше не поддается сокращению, то окончательный результат будет:

\[ \frac{5(5a^2 + 19a - 4)}{(1 - 5a)(1 + 5a + 25a^2)} \]

В целом, сокращение дробей требует внимательного и точного подхода.