найдите производную функции 2x³-1 . x³

Чтобы найти производную функции \( f(x) = \frac{2x^3 - 1}{x^3} \), мы можем использовать правило деления производных. Согласно этому правилу, производная функции \( \frac{u}{v} \) равна:

\[ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]

где \( u = 2x^3 - 1 \) и \( v = x^3 \).

Теперь найдем производные \( u' \) и \( v' \):

1. \( u = 2x^3 - 1 \)

   • Тогда \( u' = 6x^2 \) (по правилу дифференцирования степени).

2. \( v = x^3 \)

   • Тогда \( v' = 3x^2 \).

Теперь подставим все в формулу для производной:

\[ f'(x) = \frac{(6x^2)(x^3) - (2x^3 - 1)(3x^2)}{(x^3)^2} \]

Упростим числитель:

1. Первый член: \( 6x^2 \cdot x^3 = 6x^5 \).
2. Второй член:
   • \( (2x^3 - 1)(3x^2) = 6x^5 - 3x^2 \).

Теперь подставим это в числитель:

\[ f'(x) = \frac{6x^5 - (6x^5 - 3x^2)}{x^6} \]

Упрощаем:

\[ f'(x) = \frac{6x^5 - 6x^5 + 3x^2}{x^6} = \frac{3x^2}{x^6} = \frac{3}{x^4} \]

Итак, производная функции \( f(x) \) равна:

\[ f'(x) = \frac{3}{x^4} \]

Это завершает решение задачи. Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!