В корзине лежали яблоки и груши, всего 30 фруктов. Среди любых 12 из них имеется хотя бы одно яблоко ,а среди любых 20 фруктов -хотя бы одна груша. Сколько яблок лежало в корзине?

Для решения этой задачи введем обозначения: пусть \( x \) — количество яблок, а \( y \) — количество груш. Из условия задачи известно следующее:

1. Всего фруктов: \( x + y = 30 \).

2. Среди любых 12 фруктов есть хотя бы одно яблоко. Это значит, что если бы в корзине было 12 груш, то количество фруктов составило бы 12, что невозможно. Таким образом, максимальное количество груш, которое мы можем иметь, чтобы среди любых 12 фруктов было хотя бы одно яблоко, составляет 11. То есть, \( y \leq 11 \).

3. Среди любых 20 фруктов есть хотя бы одна груша. Это значит, что если бы в корзине было 20 яблок, то мы бы не нашли ни одной груши. Поэтому максимальное количество яблок в корзине, чтобы среди любых 20 фруктов была хотя бы одна груша, составляет 19. То есть, \( x \leq 19 \).

Теперь мы имеем систему неравенств и уравнение:

• \( y \leq 11 \)
• \( x + y = 30 \)
• \( x \leq 19 \)

Теперь подставим значение из первого неравенства в уравнение: \[ x + y = 30 \implies x + 11 \leq 30 \implies x \geq 19. \]

Теперь у нас есть неравенство \( x \geq 19 \) и \( x \leq 19 \). Это означает, что \( x = 19 \).

Таким образом, подставим \( x = 19 \) в уравнение \( x + y = 30 \): \[ 19 + y = 30 \implies y = 30 - 19 = 11. \]

Таким образом, в корзине было 19 яблок и 11 груш.

Ответ: В корзине лежало 19 яблок.