(х-11)(х+10)(х-3)2 >0
Чтобы решить неравенство \((x - 11)(x + 10)(x - 3)^2 > 0\), сначала определим, при каких значениях \(x\) данное выражение становится нулем.
- Находим корни:
- \(x - 11 = 0 \Rightarrow x = 11\)
- \(x + 10 = 0 \Rightarrow x = -10\)
- \((x - 3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3\) (корень имеет кратность 2)
Таким образом, критические точки: \(x = -10\), \(x = 3\), \(x = 11\).
Определяем интервалы: Критические точки разбивают ось \(x\) на следующие интервалы:
- \((-\infty, -10)\)
- \((-10, 3)\)
- \((3, 11)\)
- \((11, +\infty)\)
Тестируем знаки на каждом интервале: Для изучения знаков выражения мы можем выбрать тестовые точки из каждого интервала:
Интервал \((-\infty, -10)\): выберем \(x = -11\) \[ (-11 - 11)(-11 + 10)(-11 - 3)^2 = (-22)(-1)(196) > 0 \]
Интервал \((-10, 3)\): выберем \(x = 0\) \[ (0 - 11)(0 + 10)(0 - 3)^2 = (-11)(10)(9) < 0 \]
Интервал \((3, 11)\): выберем \(x = 5\) \[ (5 - 11)(5 + 10)(5 - 3)^2 = (-6)(15)(4) < 0 \]
Интервал \((11, +\infty)\): выберем \(x = 12\) \[ (12 - 11)(12 + 10)(12 - 3)^2 = (1)(22)(81) > 0 \]
Подводим итоги:
- В интервале \((-\infty, -10)\) выражение положительно.
- В интервале \((-10, 3)\) выражение отрицательно.
- В интервале \((3, 11)\) выражение отрицательно.
- В интервале \((11, +\infty)\) выражение положительно.
Результат: Мы ищем значения \(x\), для которых \((x - 11)(x + 10)(x - 3)^2 > 0\). Это происходит в следующих интервалах: \[ (-\infty, -10) \cup (11, +\infty) \]
Таким образом, решения неравенства: \(x \in (-\infty, -10) \cup (11, +\infty)\).
