Вычислить площадь треугольника с вершинами А(7; 3; 4),B (1;0;6) и C (4; 5; - 2)

Чтобы вычислить площадь треугольника с вершинами A(7; 3; 4), B(1; 0; 6) и C(4; 5; -2) в трехмерном пространстве, можно использовать формулу, основанную на векторном произведении.

1. Сначала найдем векторы AB и AC:

   \[ \vec{AB} = B - A = (1 - 7, 0 - 3, 6 - 4) = (-6, -3, 2) \]

   \[ \vec{AC} = C - A = (4 - 7, 5 - 3, -2 - 4) = (-3, 2, -6) \]

2. Теперь вычислим векторное произведение векторов AB и AC:

   \[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -6 & -3 & 2 \\ -3 & 2 & -6 \end{vmatrix} \]

   Вычислим определитель:

   \[ = \hat{i}((-3)(-6) - (2)(2)) - \hat{j}((-6)(-6) - (2)(-3)) + \hat{k}((-6)(2) - (-3)(-3)) \]

   \[ = \hat{i}(18 - 4) - \hat{j}(36 + 6) + \hat{k}(-12 - 9) \]

   \[ = \hat{i}(14) - \hat{j}(42) - \hat{k}(21) \]

   Таким образом, векторное произведение равно:

   \[ \vec{AB} \times \vec{AC} = (14, -42, -21) \]

3. Найдем длину векторного произведения:

   \[ |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{14^2 + (-42)^2 + (-21)^2} = \sqrt{196 + 1764 + 441} = \sqrt{2401} = 49 \]

4. Площадь треугольника равна половине длины векторного произведения:

   \[ S = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} \times 49 = 24.5 \]

Таким образом, площадь треугольника ABC равна 24.5 квадратных единиц.