Площадь прямоугольного треугольника равна 242√3. Один из острых углов равен 60∘. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Чтобы найти длину катета, прилежащего к углу 60°, давайте воспользуемся формулой площади прямоугольного треугольника. Площадь \( S \) прямоугольного треугольника можно выразить через длины его катетов \( a \) и \( b \):

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]

Здесь \( a \) и \( b \) — это катеты. Мы знаем, что площадь нашего треугольника равна \( 242\sqrt{3} \):

\[ \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = 242\sqrt{3} \]

Теперь, если один из острых углов — 60°, тогда можем выразить сторону, прилежащую к этому углу (обозначим её как \( a \)) и противолежащую (обозначим её как \( b \)). В прямоугольном треугольнике с углом 60°, можно использовать соотношения тригонометрии:

\[ \sin(60°) = \frac{b}{c}, \quad \cos(60°) = \frac{a}{c} \]

Где \( c \) — это гипотенуза.

Мы знаем, что:

\[ \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos(60°) = \frac{1}{2} \]

Теперь введем соотношение:

\[ b = c \cdot \sin(60°) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ a = c \cdot \cos(60°) = c \cdot \frac{1}{2} \]

Теперь подставим \( a \) и \( b \) в формулу площади:

\[ \frac{1}{2} \cdot \left( c \cdot \frac{1}{2} \right) \cdot \left( c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 242\sqrt{3} \]

Упрощаем это:

\[ \frac{1}{2} \cdot \frac{c^2\sqrt{3}}{4} = 242\sqrt{3} \] \[ \frac{c^2\sqrt{3}}{8} = 242\sqrt{3} \]

Делим обе стороны на \( \sqrt{3} \):

\[ \frac{c^2}{8} = 242 \]

Теперь умножим на 8:

\[ c^2 = 1936 \]

И извлекаем квадратный корень:

\[ c = 44 \]

Теперь можно найти длину катета \( a \):

\[ a = c \cdot \frac{1}{2} = 44 \cdot \frac{1}{2} = 22 \]

Таким образом, длина катета, прилежащего к углу 60°, равна \( 22 \).