Определить угол между векторами а={1;2;3} и b={6;4;-2}
Чтобы определить угол между векторами \( \mathbf{a} = \{1; 2; 3\} \) и \( \mathbf{b} = \{6; 4; -2\} \), мы можем воспользоваться формулой, связывающей угол между векторами и их скалярное произведение.
Угол \( \theta \) между векторами определяется по формуле:
\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} \]
где \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \) — это скалярное произведение векторов, а \( |\mathbf{a}| \) и \( |\mathbf{b}| \) — это длины (модули) векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) соответственно.
- Сначала вычислим скалярное произведение \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \):
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1 \cdot 6 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) = 6 + 8 - 6 = 8 \]
- Теперь найдем длины векторов \( |\mathbf{a}| \) и \( |\mathbf{b}| \):
\[ |\mathbf{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} \]
\[ |\mathbf{b}| = \sqrt{6^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 16 + 4} = \sqrt{56} \]
- Теперь подставим все данные в формулу для косинуса угла:
\[ \cos(\theta) = \frac{8}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{56}} \]
- Выразим длины векторов:
\[ \sqrt{14} \cdot \sqrt{56} = \sqrt{14 \cdot 56} = \sqrt{784} = 28 \]
Теперь мы имеем:
\[ \cos(\theta) = \frac{8}{28} = \frac{2}{7} \]
- Теперь найдём угол \( \theta \) с помощью арккосинуса:
\[ \theta = \arccos\left(\frac{2}{7}\right) \]
Таким образом, мы определили угол между векторами. Чтобы получить конкретное значение в градусах или радианах, можно использовать калькулятор или специальное программное обеспечение.
