Найдите вероятность того, что случайно выбранное натуральное число п, удовлетворяющее условию 585 ≤ n ≤ 808 делится на 14.

Чтобы найти вероятность того, что случайно выбранное натуральное число \( n \) из интервала \( [585, 808] \) делится на 14, сначала определим количество натуральных чисел в этом интервале.

1. Найдем общее количество натуральных чисел в интервале от 585 до 808: \[ N = 808 - 585 + 1 = 224 \]

2. Найдем количество чисел из этого интервала, которые делятся на 14.

   Для этого найдем первое и последнее число, делящееся на 14, в указанном интервале.

   • Первое число, большее или равное 585, которое делится на 14: \[ 1. Пробуем 585: \quad 585 \div 14 \approx 41.07 \quad \Rightarrow \quad 41 \cdot 14 = 574 \quad (\text{не подходит}), \\ 2. Пробуем 586: \quad 586 \div 14 \approx 41.14 \quad \Rightarrow \quad 42 \cdot 14 = 588 \quad (\text{первое число}) \]

   • Последнее число, меньшее или равное 808, которое делится на 14: \[ 1. Пробуем 808: \quad 808 \div 14 \approx 57.71 \quad \Rightarrow \quad 57 \cdot 14 = 798 \quad (\text{последнее число}) \]

3. Теперь найдем количество чисел, делящихся на 14, от 588 до 798. Для этого находим количество членов арифметической последовательности, где первый член \( a_1 = 588 \), последний член \( a_k = 798 \) и разность \( d = 14 \).

   Формула для общего члена арифметической прогрессии: \[ a_k = a_1 + (k - 1) \cdot d \] Подставим известные значения: \[ 798 = 588 + (k - 1) \cdot 14 \] \[ 798 - 588 = (k - 1) \cdot 14 \quad \Rightarrow \quad 210 = (k - 1) \cdot 14 \] \[ k - 1 = \frac{210}{14} = 15 \quad \Rightarrow \quad k = 16 \]

Таким образом, в интервале от 585 до 808 существует 16 чисел, которые делятся на 14.

4. Теперь найдем вероятность: \[ P(\text{делится на } 14) = \frac{\text{количество чисел, делящихся на } 14}{\text{общее количество чисел}} = \frac{16}{224} = \frac{1}{14} \]

Ответ: \[ \frac{1}{14} \]