Постройте график функции у = 6/x и, используя его, решите уравнение: а) 6/x = x; б) 6/x = -x + 6

Давайте начнем с построения графика функции \( y = \frac{6}{x} \).

1. Построение графика функции \( y = \frac{6}{x} \):
   • Эта функция имеет вертикальную асимптоту при \( x = 0 \) и горизонтальную асимптоту при \( y = 0 \).
   • Для построения графика можно выбрать несколько значений \( x \) и вычислить соответствующие значения \( y \):
     • При \( x = 1 \), \( y = 6 \)
     • При \( x = 2 \), \( y = 3 \)
     • При \( x = 3 \), \( y = 2 \)
     • При \( x = 6 \), \( y = 1 \)
     • При \( x = -1 \), \( y = -6 \)
     • При \( x = -2 \), \( y = -3 \)
     • При \( x = -3 \), \( y = -2 \)
     • При \( x = -6 \), \( y = -1 \)
   • График будет представлять собой две ветви, одна в первой и третьей четверти (где \( y > 0 \)) и другая во второй и четвертой четверти (где \( y < 0 \)).

Теперь давайте решим уравнения.

a) Уравнение \( \frac{6}{x} = x \)

Умножим обе стороны на \( x \) (учитывая, что \( x \neq 0 \)): \[ 6 = x^2 \] Следовательно: \[ x^2 = 6 \] Решения: \[ x = \sqrt{6} \quad \text{или} \quad x = -\sqrt{6} \]

b) Уравнение \( \frac{6}{x} = -x + 6 \)

Умножим обе стороны на \( x \) (снова \( x \neq 0 \)): \[ 6 = -x^2 + 6x \] Переписываем уравнение: \[ x^2 - 6x + 6 = 0 \] Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 36 - 24 = 12 \] Корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 3 \pm \sqrt{3} \]

Таким образом, мы получили следующие решения:

• Для уравнения (а): \( x = \sqrt{6} \) и \( x = -\sqrt{6} \).
• Для уравнения (б): \( x = 3 + \sqrt{3} \) и \( x = 3 - \sqrt{3} \).