X1-2X2+2X3=17 2X1+X2-3X3=-5 X1+X2+3X3=4 метод гаусса

Чтобы решить систему уравнений методом Гаусса, начнем с записи системы в виде расширенной матрицы:

\[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 & | & 17 \\ 2 & 1 & -3 & | & -5 \\ 1 & 1 & 3 & | & 4 \end{pmatrix} \]

Теперь будем приводить матрицу к ступенчатому виду.

Шаг 1: Упростим вторую строку. Мы можем вычесть 2 умноженное на первую строку из второй строки:

\[ R_2 = R_2 - 2R_1: \]

\[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 & | & 17 \\ 0 & 5 & -7 & | & -39 \\ 1 & 1 & 3 & | & 4 \end{pmatrix} \]

Шаг 2: Теперь мы можем упрощать третью строку. Вычтем первую строку из третьей строки:

\[ R_3 = R_3 - R_1: \]

\[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 & | & 17 \\ 0 & 5 & -7 & | & -39 \\ 0 & 3 & 1 & | & -13 \end{pmatrix} \]

Шаг 3: Следующий шаг — упрощение второй строки. Мы можем разделить её на 5:

\[ R_2 = \frac{1}{5} R_2: \]

\[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 & | & 17 \\ 0 & 1 & -\frac{7}{5} & | & -\frac{39}{5} \\ 0 & 3 & 1 & | & -13 \end{pmatrix} \]

Шаг 4: Теперь мы можем упростить третью строку, вычитая 3 умноженные на вторую строку:

\[ R_3 = R_3 - 3R_2: \]

\[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 & | & 17 \\ 0 & 1 & -\frac{7}{5} & | & -\frac{39}{5} \\ 0 & 0 & 5 & | & 14 \end{pmatrix} \]

Шаг 5: Упростим третью строку, разделив её на 5:

\[ R_3 = \frac{1}{5} R_3: \]

\[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 & | & 17 \\ 0 & 1 & -\frac{7}{5} & | & -\frac{39}{5} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{14}{5} \end{pmatrix} \]

Теперь у нас есть система в верхнем треугольном виде. Мы можем теперь выразить переменные.

1. Из третьей строки: \( X_3 = \frac{14}{5} \)

2. Подставим \( X_3 \) во вторую строку: \( X_2 - \frac{7}{5} \cdot \frac{14}{5} = -\frac{39}{5} \)

   Упростим это: \( X_2 - \frac{98}{25} = -\frac{39}{5} \)

   Приведём все к общему знаменателю 25: \( X_2 - \frac{98}{25} = -\frac{195}{25} \)

   \( X_2 = -\frac{195}{25} + \frac{98}{25} = -\frac{97}{25} \)

3. Подставим \( X_2 \) и \( X_3 \) в первое уравнение: \( X_1 - 2 \cdot -\frac{97}{25} + 2 \cdot \frac{14}{5} = 17 \)

   Приведём ко всем к общему знаменателю 25: \( X_1 + \frac{194}{25} + \frac{70}{25} = 17 \)

   Упростим: \( X_1 + \frac{264}{25} = 17 \)

   Переведем 17 в дробь: \( X_1 + \frac{264}{25} = \frac{425}{25} \)

   \( X_1 = \frac{425}{25} - \frac{264}{25} = \frac{161}{25} \)

Таким образом, у нас получились решения:

• \( X_1 = \frac{161}{25} \)
• \( X_2 = -\frac{97}{25} \)
• \( X_3 = \frac{14}{5} \)

Это решение системы уравнений. Если остались вопросы, не стесняйтесь спрашивать!