Сколько будет субфакториал 7

Субфакториал числа \( n \) обозначается как \( !n \) и представляет собой количество способов, которыми можно размещать \( n \) объектов таким образом, чтобы ни один объект не находился на своем исходном месте. Это можно вычислить по формуле:

\[ !n = n! \sum_{i=0}^{n} \frac{(-1)^i}{i!} \]

Где \( n! \) — это факториал числа \( n \).

Для \( n = 7 \) мы сначала посчитаем \( 7! \):

\[ 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040 \]

Теперь вычислим сумму:

\[ \sum_{i=0}^{7} \frac{(-1)^i}{i!} = \frac{(-1)^0}{0!} + \frac{(-1)^1}{1!} + \frac{(-1)^2}{2!} + \frac{(-1)^3}{3!} + \frac{(-1)^4}{4!} + \frac{(-1)^5}{5!} + \frac{(-1)^6}{6!} + \frac{(-1)^7}{7!} \]

Вычисляя каждый член, получаем:

\[ = 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{120} + \frac{1}{720} - \frac{1}{5040} \] \[ = 0 + 0.5 - 0.1667 + 0.04167 - 0.00833 + 0.00139 - 0.000198 \] Приблизительно это даёт:

\[ \approx 0.3667 \]

Теперь подставим это значение в формулу для субфакториала:

\[ !7 = 7! \cdot \sum_{i=0}^{7} \frac{(-1)^i}{i!} \approx 5040 \cdot 0.3679 \approx 1854 \]

Таким образом, субфакториал 7 равен приблизительно 1854.