Найди объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 5 2 5 2 , а боковое ребро — 106 106 .
Чтобы найти объём правильной четырёхугольной пирамиды, можно воспользоваться формулой:
\[ V = \frac{1}{3} S_b h, \]
где \( S_b \) — площадь основания, а \( h \) — высота пирамиды.
Находим площадь основания. Поскольку основание является квадратом со стороной \( a = 5 \): \[ S_b = a^2 = 5^2 = 25. \]
Находим высоту пирамиды \( h \). В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро \( l = 106 \) является гипотенузой прямоугольного треугольника, который образован высотой \( h \), радиусом описанной окружности основания \( R \) и боковым ребром.
Радиус \( R \) описанной окружности квадрата со стороной \( a \) можно найти по формуле: \[ R = \frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{5 \sqrt{2}}{2}. \]
Применяем теорему Пифагора: \[ l^2 = h^2 + R^2. \] Подставим известные значения: \[ 106^2 = h^2 + \left(\frac{5 \sqrt{2}}{2}\right)^2. \] \[ 11236 = h^2 + \frac{25 \cdot 2}{4}. \] \[ 11236 = h^2 + \frac{50}{4} = h^2 + 12.5. \] \[ h^2 = 11236 - 12.5 = 11223.5. \] \[ h = \sqrt{11223.5} \approx 106.053. \]
Теперь вычисляем объём: \[ V = \frac{1}{3} S_b h = \frac{1}{3} \cdot 25 \cdot 106.053 \approx \frac{2651.325}{3} \approx 883.775. \]
Таким образом, объем правильной четырёхугольной пирамиды примерно равен 883.775 кубических единиц.
