По заданному значению функции найдите остальные значения тригонометрических функций cos α = - 24/25, π < 2 < 3π/2
Для решения данной задачи начнем с имеющегося значения косинуса угла α:
\[ \cos α = -\frac{24}{25} \]
Согласно свойствам тригонометрических функций, если мы знаем значение косинуса, мы можем найти значение синуса с использованием основного тригонометрического тождества:
\[ \sin^2 α + \cos^2 α = 1 \]
Подставляем значение косинуса:
\[ \sin^2 α + \left(-\frac{24}{25}\right)^2 = 1 \]
Рассчитаем \(\left(-\frac{24}{25}\right)^2\):
\[ \sin^2 α + \frac{576}{625} = 1 \]
Далее, преобразуем уравнение:
\[ \sin^2 α = 1 - \frac{576}{625} \]
Преобразуем \(1\) в дробь с тем же знаменателем:
\[ 1 = \frac{625}{625} \]
Теперь подставляем:
\[ \sin^2 α = \frac{625}{625} - \frac{576}{625} = \frac{49}{625} \]
Теперь нам необходимо извлечь квадратный корень:
\[ \sin α = \pm \sqrt{\frac{49}{625}} = \pm \frac{7}{25} \]
Так как угол α находится в интервале \((π, \frac{3π}{2})\) (т.е. между 180° и 270°), в этом квадранте синус принимает отрицательное значение. Следовательно:
\[ \sin α = -\frac{7}{25} \]
Теперь мы можем определить значения остальных тригонометрических функций. Воспользуемся уже известными значениями синуса и косинуса для нахождения тангенса:
\[ \tan α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{-\frac{7}{25}}{-\frac{24}{25}} = \frac{7}{24} \]
Теперь найдем котангенс:
\[ \cot α = \frac{1}{\tan α} = \frac{24}{7} \]
Значения секанса и косеканса вычисляются как обратные к косинусу и синусу соответственно:
\[ \sec α = \frac{1}{\cos α} = \frac{1}{-\frac{24}{25}} = -\frac{25}{24} \]
\[ \csc α = \frac{1}{\sin α} = \frac{1}{-\frac{7}{25}} = -\frac{25}{7} \]
Таким образом, резюмируя, мы имеем:
- \(\sin α = -\frac{7}{25}\)
- \(\cos α = -\frac{24}{25}\)
- \(\tan α = \frac{7}{24}\)
- \(\cot α = \frac{24}{7}\)
- \(\sec α = -\frac{25}{24}\)
- \(\csc α = -\frac{25}{7}\)
Если у вас возникнут дополнительные вопросы или потребуется дополнительная помощь с тригонометрией или другими темами, не стесняйтесь спрашивать!
